十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题12 圆锥曲线 解析版

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题12圆锥曲线

1.(2019·全国·理T 10文T 12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )

x22

A.2+y=1

x2B.3x2

y2

+2=1 y2

C.4+3=1 【答案】B

x2y2

D.5+4=1

【解析】如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m. 由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m. 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n. 由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|, m=2,m-n=2n,

得{解得{ am+n=2a,n=.

23a

∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b). ∴kAF2=1=b.

过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF2∽△PBF2. 又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|. ∴|F2P|=2. 又kAF2=把点

|BP|

|F2P|1b

=

|BP|12=b,∴|BP|=2b.∴点B(2,2b).

中,得a=3.

2

131

x2y2

B坐标代入椭圆方程2+2=1ab

2

又c=1,故b

x2

=2.所以椭圆方程为

3y2

+=1. 2??2??2

?2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为??2??

2.(2019·全国1·文T 10)双曲线C: ( ) A.2sin 40° C.??????50° 【答案】D

1

130°,则C的离心率为

B.2cos 40° D.??????50° 1

1

【解析】由已知可得-=tan 130°=-tan 50°, 则

??e=????

=√1+(??)=√1+??????250° ??????50°??????50°1

. ??????50°2??????????250°??????250°+??????250°

√√=1+2==2故选D.

??22

3.(2019·北京·文T 5)已知双曲线??2-y=1(a>0)的离心率是√5,则

a=( )

A.√6 【答案】D

B.4 C.2 D.

12

【解析】∵双曲线的离心率e=??=√5,c=√??2+1, ∴

√??2+1??

??

=√5,【解析】得a=,故选D.

2

12

4.(2019·天津·理T 5文T 6)已知抛物线y=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线

??2??2

?2=1(a>0,b>0)的??2??

两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( ) A.√2 【答案】D

【解析】由抛物线方程可得l的方程为x=-1.

??????=??,??=-??,

??得y1=-.由{??得y2=. 由{??????=-1,??=-1,

??

??

B.√3 C.2 D.√5 ∴AB=??.

由|AB|=4|OF|得??=4,故??=2.

????

2

2??

2????

2=??+??

??2

2

=??2.∴e=√5,故选D.

??22

C:3-y=1,O

5??2

5.(2018·全国1·理T 11)已知双曲线为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐

近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( ) A. C.2√3 【答案】B

【解析】由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±3x,

√332B.3 D.4

2

所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°. 不妨设∠OMN=90°,则|MN|=√3|OM|. 又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos 30°=√3, 所以|MN|=3.

6.(2018·全国2·理T 5文A.y=±√2x C.y=±2x 【答案】A 【解析】∵e∴??=√2.

∵双曲线焦点在x轴上, ∴渐近线方程为y=±x, ∴渐近线方程为y=±√2x. 7.(2018·全国3·理T 11)设F1,F2是双曲线C:

??2??2??????

2

??2

T 6)双曲线2??

?

??2??

2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为(

)

B.y=±√3x D.y=±2x

√3√2??2=??2=

??+??2??22

=

??2

(??)+1=3,

?

??2??

2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O

是坐标原点,过F2作C

的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=√6|OP|,则C的离心率为( ) A.√5 C.√3 【答案】C

【解析】如图,过点F1作OP的反向延长线的垂线,垂足为P',连接P'F2,由题意可知,四边形PF1P'F2为平行四边形,且△PP'F2是直角三角形. 因为|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a. 又|PF1|=√6a=|F2P'|,|PP'|=2a, 所以|F2P|=√2a=b, 所以c=√??2+??2=√3a,所以e=??=√3. 8.(2018·浙江·T2)双曲线3-y=1的焦点坐标是( ) A.(-√2,0),(√2,0) B.(-2,0),(2,0)

3

??2

2

B.2 D.√2

??

C.(0,-√2),(0,√2) D.(0,-2),(0,2) 【答案】B

【解析】∵c=a+b=3+1=4,∴c=2. 又焦点在x轴上,

∴焦点坐标为(-2,0),(2,0).

9.(2018·全国2·理T12)已知F1,F2是椭圆C:a2+

√3222

x2y2b

2=1(a>b>0)的左、右焦点,A

是C的左顶点,点P在过A

且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )

6A.3 C. 【答案】D

132

B.2 D.

141

【解析】∵A(-a,0),△PF1F2为等腰三角形, ∴|PF2|=|F1F2|=2c. 过点P作PE⊥x轴,

∵∠F1F2P=120°,∴∠PF2E=60°. ∴F2E=c,PE=√3c,∴P(2c,√3c). ∵kPA=,

6√3∴PA所在直线方程为y=6(x+a). ∴√3c=(2c+a).∴e==.

6

√3√3ca14

10.(2018·全国2·文T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( ) A.1- 2

√3B.2-√3 D.√3-1

C.2 【答案】D

√3-1

【解析】不妨设椭圆方程为a2+∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,

x2y2b

2=1(a>b>0), 4