湖北省浠水县实验高级中学2017-2018学年高三数学(理)测试题 (10)

（Ⅰ）若曲线y?f(x)与直线y?x相切，求a的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f(x)?g(x)?1；

（Ⅲ）若函数f(x)与函数g(x)的图像有且仅有一个公共点P(x0,y0)，证明：x0?2.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程

?3x?3?t?xy?2（t为参数）??1上的动点，直线C2的参数方程为?已知P为曲线C1:124?y?3?1t??222求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标.

23.选修4-5：不等式选讲

已知关于x的方程log2(x?2x?5)?2a?1?0在x?[0,3]上有解. （Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；

（Ⅱ）若t?at?3?0对任意a?A恒成立，求实数t的取值范围.

22

2017届高三数学训练题（理科）（3月27日）

参考答案

一、选择题

1-5 B C C A D 6-10 A A C D B 11-12 D C 二、填空题

13.5 14.-7 15.133 16.三、解答题

17.解：（1）原式转化为：Sn?2(Sn?Sn?1)?n?4(n?2)， 即Sn?2Sn?1?n?4，

所以Sn?n?2?2[Sn?1?(n?1)?2]

注意到S1?1?2?4，所以?Sn?n?2?为首项为4，公比为2等比数列. （2）由（1）知：Sn?n?2?2n?1， 所以Sn?2n?1?n?2，

于是Tn?(22?23?...?2n?1)?(1?2?...?n)?2n

4(1?2n)n(n?1)???2n

1?222n?3?n2?3n?8?.

2?100(n?45,n?N?)18.解：（1）y?? ??6n?170(n?45,n?N)（2）

X P 100 0.2 106 0.3 118 0.4 130 0.1 E(X)?100?0.2?106?0.3?118?0.4?130?0.1?112（元）?美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42?0.2?44?0.4?46?0.2?48?0.1?50?0.1?45 所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70?45?1?115（元） 由??知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元. 故推荐小明去美团外卖应聘.

19.解：（1）连接AC,BD交于点O，连接OP，则O为BD中点， ∴OP//DE，∴OP?面ABCD.

∴?POA为AP余面所成角ABCD∴?POA?60?.

Rt?AOP中，AO?1,OP?3,CG?Rt?AHC中, AH?梯形OPHC中，PH?5323. ,CH?33AC2?CH2?43. 323222.∴AP?PH?AH 3∴AP?PH，又EH?FH?PH?EF，AP?EF?P?PH?面AEF. （2）∵CG面ABCD，ABCD为正方形，

?????223?∴如图所示建立空间直角坐标系.面AEF的法向量为HP???2,2,3??，

????32?321面EFG法向量为n??3,3,，故二面角A?EF?G的余弦值?. ???2?4?20.解：（1）因为直线2x?y?m?0不过原点，所以m?0，

y2x2??1联立，消去y得： 将2x?y?m?0与424x2?22mx?m2?4?0，

因为直线与椭圆有两个不同的公共点A,B，

所以??8m?16(m?4)?0，解得?22?m?22， 所以实数m的范围组成的集合M是?22,0?0,22；

（2）假设存在定点P(x0,y0)使得任意的m?M,都有直线PA,PB的倾斜角互补， 即kPA?kPB?0，令A(x1,2x1?m),B(x2,2x2?m), 所以

22????2x1?m?y02x2?m?y0??0，

x1?x0x2?x022x1x2?(m?2x0?y0)(x1?x2)2x0(y0?m)?0?22整理得：，

由（1）知x1,x2是4x?22mx?m?4?0的两个根，

2mm2?4,x1x2?所以x1?x2??， 24代入???化简得(2y0?x0)m?2(x0y0?2)?0， 2

?2??y0?x0?0??x0?1?x0??1由题意?2解得?或? ??xy?2?0?y0?2??y0??2?00所以定点

的坐标为P(1,2)或P(?1,?2)，

经检验，满足题意，所以存在定点P使得任意的m?M,都有直线PA,PB的倾斜角互补，坐标为P(1,2)或P(?1,?2).

21.解：（Ⅰ）设曲线y?f(x)在Q(x1,y1)点处切线是y?x，则?x?1由于f?(x1)?e1所以x1?1,y1?1， x?1由题意知：y1?e1?a，于是a?0.

?y1?x1

?f?(x1)?1（Ⅱ）令F(x)?f(x)?g(x)?e当x?(0,1)时，0?e即F?(x)?e即F?(x)?ex?1x?11?lnx,F?(x)?ex?1?(x?0)，

x1， xx?1?1，所以0?ex?1?1???11?0，当x?(1,??)时，1?ex?1，所以ex?1?1?， xx1?0，于是F(x)?f(x)?g(x)?ex?1?lnx xx?1在（0,1）单调递减，(1,??)单调递增，

其最小值是F(1)?1，所以F(x)?f(x)?g(x)?1，于是原不等式成立. （Ⅲ）令G(x)?ex?1?lnx?ax?a(x?0)，

则函数f(x)与函数g(x)的图像有且仅有一个公共点P(x0,y0)等价于函数G(x)有且只有一个零点x0，G?(x)?e注意到G?(x)?e所以G?(x)?ex?1x?1x?1?1?a， x?1?a为(0,??)上的增函数且值域为R， x?1?a在(0,??)上有唯一零点x1， x且G?(x)在(0,x1)上为负，(x1,??)上为正，所以G(x1)为极小值， 又函数G(x)有唯一零点x0，结合G(x)的单调性知x1?x0，

1?x0?1e??a?0??G(x0)?0?x0所以?，即?，

G(x)?00??ex0?1?lnx?ax?a?000?