北京市高考数学一轮复习 第29讲 导数及其应用经典回顾

第29讲 导数及其应用经典回顾

题一：已知函数f(x)?ax3?bx2?c，其导函数图象如图所示，则函数f(x)的极小值是 A．a?b?c B．8a?4b?c C．3a?2b D．c

题二：已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是 ( )

题三：若函数f?x??ax?x在区间??1,1?上单调递增，求a的取值范围.

3题四：已知函数f(x)?lnx?ax?ax(a?R)，若函数f(x)在区间(1,??)上是减函数，求实数a的取值范围

22题五： 题六：

??20x(1?x)dx等于 .

21?2x1??e??dx等于 .

x??32题七：已知函数f?x??x?(1?a)x?a(a?2)x?b?a,b?R?．（I）若函数f?x?的

图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值； （II）若函数f?x?在区间??1,1?上不单调，求a的取值范围．

1

题八：已知f(x)?(1)当|a| ?23x?2ax2?3x (a?R). 31时, 求证f(x)在(?1, 1)内是减函数; 4(2)若y?f(x)在(?1, 1)内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.

2

题九：设a≥0，f （x）＝x－1－lnx＋2a ln x（x＞0）． （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0，＋∞）内的单调性并求极值；

2

（Ⅱ）求证：当x＞1时，恒有x＞lnx－2a ln x＋1．

题十：已知函数f(x)?alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?1xx?2y?3?0，

（1）求a,b的值

（2）证明：当x?0,x?1时，f(x)?lnx 1?x

题十一：设函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)＋ax(a>0)． (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

1

(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．

2

题十二：已知函数f(x)?x?ax?bx?c,过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1

（Ⅰ）若函数f(x)在x??2处有极值，求f(x)的表达式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y?f(x)在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数y?f(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

第29讲 导数及其应用经典回顾

题一：D

32详解：点拨：由图可知函数f?x?在???,0?上单调递减，在?0,2?上单调递增，在?2,???上单调递减，所以函数的极小值为f?0??c。

题二：D

详解：由题意知函数f(x)，g(x)都为增函数，当x＜x0时，由图象知 f ′(x)＞g′(x)，即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度；当x＞x0时，f ′(x)＜g′(x)，g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度，数形结合，选D.

2

题三：a的取值范围是

?1??,???. ??3?详解： f'?x??3ax2?1，Qf?x?在区间??1,1?上单调递增，则f'?x??3ax2?1?0在

??1,1?上恒成立。

当x?0时，显然成立，当x?0时a??13x2 Q?13x2在x???1,1?的最大值为?13 ?a??13，故a的取值范围是??1???3,????.

题四：a的取值范围是????,?1??2????1,??? 详解：显然函数f(x)?lnx?a2x2?ax的定义域为(0,??)

?f?(x)?12?2a2x2?ax?1?(2ax?1)(ax?1)x?2ax?a?x?x

①当a?0时,f?(x)?1x?0,?f(x)在区间(1,??)上为增函数，不合题意 ②当a?0时,f?(x)?0(x?0)等价于(2ax?1)(ax?1)?0(x?0),

即x?

1a此时f(x)的单调递减区间为??1??a,???? ?依题意，得?1?a?1,解之得a?1

??a?0,③当a?0时,f?(x)?0(x?0)等价于(2ax?1)(ax?1)?0(x?0)，

即x??12a此时f(x)的单调递减区间为??1??2a,????? ?1????2a?1,得a??1

??a?0,2综上，实数a的取值范围是????,?1???2???1,???

3

题五：

14. 3?13??1?x?'?x2,?x2?'?x ?3??2?详解：Qx?x?1??x2?x，且?222则

?0x(1?x)dx??xdx??020132122?13??1?14???2?0????22?0?? xdx?x?x3020?3??2?3题六：

详解：Q?lnx?'?得e2x12x,?e?'?e2x?2x?'?2e2x x?1???e2x?' ?2?22212141212x2?2x1?2xe?dx?edx?dx?e?lnx?e?e?ln2?ln1 ????11112x?x22?所以

?111?e4?e2?ln2 22

题七：b?0,a??3或a?1；?5?a??1

2详解：（Ⅰ）由题意得f'?x??3x?2(1?a)x?a(a?2)

??f?0??b?0又? ，解得b?0,a??3或a?1

f'0??a(a?2)??3????（Ⅱ）函数f?x?在区间??1,1?不单调，等价于导函数f'?x?在??1,1?既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数f'?x?在??1,1?上存在零点，根据零点存在定理，有f'??1?f??1??0，即：?3?2(1?a)?a(a?2)??3?2(1?a)?a(a?2)??0 整理得：?a?5??a?1??a?1??0，解得?5?a??1

211)?(, ??). 442322详解： (1) ∵f(x)?x?2ax?3x,∴f?(x)?2x?4ax?3.

3题八：(??, ? 4