鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第十章计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案含解析

A．24 C．96 答案 C

解析 若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有4×3×2＝24(种)；若A，D颜色不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，C只有1种涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72(种)，根据分类加法计数原理可得，共有24＋72＝96(种)，故选C.

7．(2018·湖北省黄冈中学月考)对33000分解质因数得33000＝2×3×5×11，则33000的正偶数因数的个数是( ) A．48B．72C．64D．96 答案 A

解析 33000的因数由若干个2(共有2,2,2,2四种情况)， 若干个3(共有3,3两种情况)，

若干个5(共有5,5,5,5四种情况)，若干个11(共有11,11两种情况)，

由分步乘法计数原理可得33 000的因数共有4×2×4×2＝64(个)，不含2的共有2×4×2＝16(个)，

∴正偶数因数的个数为64－16＝48， 即33000的正偶数因数的个数是48，故选A.

8．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为________． 答案 17

解析 当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数中不含有1时，可得到A5＝20(个)对数，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93.综上可知，共有20＋1－4＝17(个)不同的对数值．

9．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个． 答案 27

解析 先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1,2，…，6，有六个， 再考虑等腰的情况，若a＝b＝1，c

2

3

2

1

0

1

0

0

3

2

1

0

3

3

B．48 D．120

9

此时c＝1与等边重复，

若a＝b＝2，c

10．(2018·天津河东区模拟)一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有________种．(用数字作答) 答案 36

解析 根据题意，分2步完成： ①将三名女生全排列，有A3＝6种顺序，

②排好后，有4个空位，男生不排第一个演讲，除去第一个空位，有3个空位可用，在这三个空位中任选2个，安排2名男生，有A3＝6种情况， 则有6×6＝36种符合题意的排序方式．

11．(2018·金华模拟)联合国国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有________种． 答案 25

解析 根据题意，可分为：三个国家粮食和药品都有，有1种方法； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，两个国家药品，有3×2＝6种方法； 三个国家粮食，一个国家药品，有3种方法； 三个国家药品，一个国家粮食，有3种方法， 故方法总数是25.

12．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为________． 答案 240

解析 将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，①若末位数字为2，

2

3

10

因为含有2个4，所以有

5×4×3×2×1

＝60(种)情况；②若末位数字为6，同理有

2

5×4×3×2×1

＝60(种)情况；③若末位数字为4，因为有2个相同数字4，所以共有

25×4×3×2×1＝120(种)情况．综上，共有60＋60＋120＝240(种)情况．

13．(2018·杭州第二中学模拟)工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是________．

答案 60

解析 根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，当第一个选1号螺栓的时候，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法，所以总共有10×6＝60种方法，故答案是60.

14．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}，定义函数f：M→N.若点A(1，f(1))，B(2，f(2))，

C(3，f(3))，△ABC的外接圆圆心为D，且DA＋DC＝λDB(λ∈R)，则满足条件的函数f(x)

有________种． 答案 12

→→→

解析 由DA＋DC＝λDB(λ∈R)，说明△ABC是等腰三角形，且|BA|＝|BC|，必有f(1)＝f(3)，

→→→

f(1)≠f(2)．

当f(1)＝f(3)＝1时，f(2)＝2,3,4，有三种情况；

f(1)＝f(3)＝2，f(2)＝1,3,4，有三种情况； f(1)＝f(3)＝3，f(2)＝2,1,4，有三种情况； f(1)＝f(3)＝4，f(2)＝2,3,1，有三种情况．

因而满足条件的函数f(x)有12种．

15．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99,3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则

11

(1)5位回文数有________个； (2)2n(n∈N)位回文数有________个． 答案 (1)900 (2)9×10

n－1

*

解析 (1)5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900(种)填法，即5位回文数有900个．

(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10

1

n－

种填法．

16．用6种不同的颜色给三棱柱ABC－DEF六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有________种．(用数字作答) 答案 8520

解析 分两步来进行，先涂A，B，C，再涂D，E，F. 第一类：若6种颜色都用上，此时方法共有A6＝720种；

第二类：若6种颜色只用5种，首先选出5种颜色，方法有C6种；先涂A，B，C，方法有A5种，再涂D，E，F中的两个点，方法有A3种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有C6·A5·A3·2＝4320种；

第三类：若6种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有C6种；

先涂A，B，C，方法有A4种，再涂D，E，F中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有C6·A4·3·3＝3240种；

第四类：若6种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有C6种；

先涂A，B，C，方法有A3种，再涂D，E，F，方法有2种，故此时方法共有C6·A3×2＝240种． 综上可得，不同涂色方案共有720＋4320＋3240＋240＝8520种．

3

3

3

3

4

3

3

4

5

3

2

2

5

3

6

12