高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：6.3 等比数列及其前n项和36

第3讲 等比数列及其前n项和

【2014年高考会这样考】

考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等比中项的性质与证明．

对应学生85 考点梳理

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．

an

数学语言表达式为＝q(n≥2)，q为常数．

an－12．等比数列的通项公式

(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an＝a1·qn－1. (2)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N*)． 3．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，其前n项和为 ?；

?na1?q＝1

Sn＝?a1?1－qn?a1－anq

?1－q＝1－q?q≠1?.

4．等比数列及前n项和的性质 (1)等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.

?1?

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，?a?，{a2bn}，n}，{an·

?n??an?

??仍是等比数列． ?bn?

(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍

成等比数列，其公比为qn. 【助学·微博】 一个推导

利用错位相减法推导等比数列的前n项和： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，

同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，

a1?1－qn?两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝(q≠1)．

1－q 两个防范

(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误． 四种方法

等比数列的判断方法有：

an＋1an

(1)定义法：若a＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}

nan－1是等比数列；

(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a2an＋2(n∈N*)，则数列{an}n＋1＝an·是等比数列；

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列；

(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．

注 前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．

考点自测

1．(2011·辽宁)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )． A．2 B．4 C．8 D．16

an＋1an＋216n＋1

n

解析 由anan＋1＝a2＝q2＝16n＝16，∴q＝4. nq＝16＞0知q＞0，又

anan＋1答案 B

2．(2012·新课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )．

A．7 B．5 C．－5 D．－7

??a4＋a7＝2，解析 设数列{an}的公比为q，由?得

?a6＝a4·a7＝－8?a5·???a1＝－8，?a4＝4，?a4＝－2，

?或?所以?13??a＝－2a＝4，q＝－?7?7?2

??a1＝1，

或?

3??q＝－2，

???a1＝－8，?a1＝1，

所以?或?所以a1＋a10＝－7.

???a10＝1?a10＝－8，答案 D

3．(2013·兰州模拟)在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝( )． A．10 B．25 C．50 D．75

解析 因为a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，∴a8a9a10a11＝52＝25. 答案 B

4．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于( )． A．－4 B．－1 C．0 D．1

解析 当n＝1时，a1＝4＋a，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1.当n＝1时，4＋a＝3，∴a＝－1. 答案 B

5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数

?1?

列?a?的前?n?

5项和为________．

9?1－q3?1－q6?1?

解析 显然公比q≠1，由题意可知＝，解得q＝2，则数列?a?是

?n?1－q1－q

?1?131

??的前5项和T5＝. 以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得数列a216

?n?

31

答案 16

对应学生86 考向一 等比数列的判定与证明

【例1】?(2013·宁波十校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－2n(n∈N*)．

(1)求证：数列{1＋an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an； an(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

an＋1＋1

[审题视点] (1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为an与an－1的递推关系，再构造数列{1＋an}；

(2)分组后用公式求和．

(1)证明 当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝3an－2n－3an－1＋2(n－1)， 即n≥2时，an＝3an－1＋2，

从而有n≥2时，an＋1＝3(an－1＋1)．

又2a1＝2S1＝3a1－2，得a1＝2，故a1＋1＝3≠0， 故数列{1＋an}是首项为3，公比为3的等比数列， 则an＋1＝3×3n－1＝3n，故an＝3n－1. 3n－11an1

(2)解 bn＝＝n＋1＝3－n＋1，

an＋1＋133