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答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为h(x)升，依题
x意得h(x)?(
h'(x)?1128000x?33803x?8).3100x?11280x?2800x?154(0?x?120),
x640?800x2?x?80640x2(0?x?120).
令h'(x)?0,得x?80.
当x?(0,80)时，h'(x)?0,h(x)是减函数；当x?(80,120)时，h'(x)?0,h(x)是增函数. 当x?80时，h(x)取到极小值h(80)?11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
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专题训练与高考预测
一、选择题
1. y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于( ) A.0
B.1
x?5C.－1 D.2
2.经过原点且与曲线y=x?9相切的方程是( ) A.x+y=0或C.x+y=0或
x25x25+y=0 －y=0
f?(x)xB.x－y=0或
x25+y=0
x25D.x－y=0或－y=0
3.设f(x)可导，且f′(0)=0,又limx?0=－1,则f(0)( )
B.一定是f(x)的极值 D.等于0
A.可能不是f(x)的极值 C.一定是f(x)的极小值
2
2
n
4.设函数fn(x)=nx(1－x)(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为( ) A.0
B.1
C.(1?22?n)n
D.4(nn?2)n?1
5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处( )
A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值
6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，则a=( )
A、10 B、13 C、16 D、19
331433D、无法确定极值情况
7.过抛物线y=x2上的点M（1,2）的切线的倾斜角是( )
D、900
A、300 B、450 C、600
3
8.函数f(x)=x-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A、（0，1） B、（-∞，1） C、（0，+∞） D、（0，1）
29.函数y=x-3x+3在[?A、
8983
32,52]上的最小值是( )
C、33 D、5
8 B、1
10、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则( ) A、c≠0 B、当a>0时，f(0)为极大值 C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值
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11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A、（2，3）
B、（3，+∞）
C、（2，+∞）
D、（-∞，3）
12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中( )
A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素 二、填空题 13.若f′(x0)=2,limk?0f(x0?k)?f(x0)2k =_________.
14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.
15.函数f(x)=loga(3x+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________.
16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题
17.已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.
18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]内的最大值.
19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20.求函数的导数 (1)y=(x2－2x+3)e2x; (2)y=3x1?x2
.
21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度. 22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1,(x≠0,n∈N*).
23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间. 24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值；
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由. 25.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba. 26.设关于x的方程2x2－ax－2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=4x?a.
x?12(1)求f(α)·f(β)的值；
(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；
(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？
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参考答案
一、1.解析：y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1. 答案：B
2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=y0,另一方面，y′=(x?9)′=
x0x?5?4(x?5)2,故
y′(x0)=k,即y0=3,y0=?15?9?15?5(1)
(2)
?4(x0?5)?352?y0x0?x0?9x0(x0?5)或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有
?4(?3?5)x253,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,3),从而得y′(A)=
5 =－1及
y′(B)= 答案：A
?4(?15?5)2??125 ,由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x或lB:y=－.
3.解析：由limx?0f?(0)x=－1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时
f?(0)x
＜0,于是当x∈(a,0)
时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减. 答案：B
4.解析：∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=
22?n22?n22?n,易知fn(x)在x=
22?n时取得最大值，最大值fn(
22?n)=n2(
22?n)2(1－
)n=4·()n+1.
答案：D
5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C 二、13.解析：根据导数的定义：f′(x0)=limk?0f[(x0?(?k)]?f(x0)?k(这时?x??k)
?lim??f(x0?k)?f(x0)2klimk?0k?0?lim[?k?012?f(x0?k)?f(x0)?k]
12f(x0?k)?f(x0)?k??12f?(x0)??1.答案：－1
14.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x), f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！ 答案：n!
15.解析：函数的定义域是x＞1或x＜－2,f′(x)=
3logae3x?5x?22.(3x2+5x－2)′=(6x?5)?logae,
(3x?1)(x?2) 16
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