航院--毕业设计

桂林航天工业学院毕业设计（论文） 第 4 页 共 30 页 从而有：

c(k)=c*(N-k)=c*(-k) (2-3) 若将式(2-1)中系数的定义域从k∈[0，n]延拓到[-n，n]，可形成另一组数：

c(-n)，．．．，c(-1)，c(0)，c(1)，．．．，c(n)，它们具有如式(2-3)所示的中心共对称关系。于是离散傅氏重构表达式为：

xf??c(k).ejk?0t ?0?2?/T;k??n,...,0,...n (2-4)

??n从式(2-4)k可看出，虽然采样了(2n+1)个数据点，但离散傅氏重构仅到了n次的谐波信息。如何用这有限个DFT系数Ck来表征足够高的谐波信是减小离散傅氏重构误差所必需考虑的问题。

n2.3.2 传统FFT谱分析的系统结构

DFT(离散傅里叶变换，Discrete Fourier Transform)是经典的谱分析手段。1965年由于DFT的快速算法（FFT）的提出，在国际上一般把1965年作为数字信号处理这门新学科的开端，这足以显现出DFT/FFT在信号处理中的重要地位。除了FFT的快速便捷性外，DFT还具有多方面的重要理论意义，如在参数估计方面，早在1974年著名学者Rife就指出：当样点数N足够大时，若对离散采样值进行DFT，则 获得信号频率飞最大似然解的近似估计。

然而，谱泄漏是DFT的一个很突出的缺陷，谱泄漏严重影响了谱分析的性能。普泄漏的生产源于在做DFT运算时隐含了对输入数据的截断操作。截断会破坏输入波形的连续性，故在频分析效果上会以泄漏的形式反映出来。简单对数据加窗后再进行DFT（其结构如图所示）是常用的改善谱分析性能飞手段，然而如图所示的结构在改善DFT谱分析性能方面总是有限的.

图2.1 N级传统FFT谱分析基本框图（N=4）

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2.4 传统FFT频谱校正法

目前，国内外有4种离散频谱校正法：能量重心法、比值法、相位差法和FFT+DFT谱连续细化法。其中能量重心法和相位差法应用最广泛，但该方法需用5根谱线才可较精确地估计出信号频率；传统相位差法可获得更高精度的频率校正，它分为两种，第 1 种做法是采连续两段样本，对这两段进行FFT， 利用其对应离散谱线的相位差校正出准确频率和相位，第 2 种做法是只采样一段信号，对这段序列分别进行N点和N/2点的FFT分析，利用其相位差进行频谱校正。可以看出，两种相位差法的共同特点是对存在时移关系的两个序列分别进行 FFT 分析，再将两次谱峰位置的分析结果进行比较而得。 其中第1种方法优于第2种。

2.4.1 能量重心法

能量重心法频谱校正法的算法简单，因而此法应用很广泛。该法所依据的原理是经典DFT分析中的帕瓦尔定理，即信号的能量在食域和频域内是守恒的。我们知道，在时域内离散数据的能量是通过对所以采集值进行平方求和得到的；而在频域内，则可通过对所有谱线的幅值进行平方求和和来表征。倘若离散谱泄漏不严重，为减小频谱估计的计算量，这些振幅谱的平方和（即功率谱的求和）可由主谱线及附近的几根谱线求和近似代替，这也是该法理论误差的来源。

因而，为了提高估计精度，必须提高谱线聚集度，这可通过加窗来实现。直接对加窗FFT的功率谱线进行校正的误差是较大的。加窗不仅起到能量集中作用，而且还会降低各个频率的 谱线的干扰，因而是必需的。

一般情况下，某一频率成分的离散功率谱线分布如图2.2所以。

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X?m?2X?m?2?X?m?2?22X(m?1)2X?m?2?2X(m?1)2 m m+1m+2.....图2．2 离散功率谱线分布图

其振幅谱值在主谱线附近的分布是不均匀的，主谱线两侧的谱线幅度有高有低。不难想象，类似于密度不均匀的物体存在重心一样，离散功率谱线也必然存在一个能量重心，该重心位置就是信号真实频率的理论位置。例如，图2．1的能量重心必然处于k=m和k=m+1之间。

令所选用的采样频率为fs，FFT的长度为N，则数字角频率的分辨率

△??2?/N，对应的模拟频率分辨率为fs/N，若选用主谱线前后M根谱线进

行校正，则不难得出数字频率估计?和模拟频率估计f值为：

m?M???k?m?Mm?M?k??.k?2k2m?M△ω?f??k?m?M?????.fs?2??k?m?Mm?M?2k??.k?.2kk?m?M????fs (2-5) N式(2-5)中的M值通常取为1或2，M=2时的校正精度高于M=l情况。事实上，频率和相位是紧密相连的两个概念，数字角频率的偏差对时间积分的结果就会引起相位的偏离。因而由式(2-1)得到?后，就可计算出FFT主谱线上的频率偏差，由于主谱线处于k=m的位置上，因此，主谱线上的频率偏差为：

?m?M?2k??.?k????k?m?M????m△???m?M?m?△??△k.△? （2-6）

2??????k???k?m?M?

式(2-6)中的△k为比例偏差因子，满足△k∈[-1／2，1／2]。

由于FFT谱分析属于线性谱分析，类似于长度为N的线性相位的FIR滤波器

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存在群延时?=(N-1)／2一样，FFT谱分析也存在时间常数?，?把频偏值与相偏值联系起来，因此由主振幅谱线上的频偏?值可很容易地求取主谱线上的相位偏离值△?：

△???.??△??△k.??△k.2?N?1N?1.?.△k.??△k.?N2N

（2-7）

若主谱线上的相位值为φm，则信号真实初相位φm的估计为：

?φ0?φm_?△φ?φm?△k.? (2-8)

能量重心法也可以校正信号的幅值，其校正后的幅值A?为：

A??m?Mktk?m?M?2 (2-9) ??k?将式(2-9)中的蜀称为能量恢复系数，蜀值与所选用的窗有关。文献[13]指出：加Hanning窗时为值取为8／3。

式(2-5)、式(2-8)和式(2-9)分别实现了信号的频率、初相和幅值的估计。可看出，这三个式子都直接利用谱线幅值进行校正，校正的计算过程不依赖于窗函数，因此算法简单：文献[10]指出，该法的频率校正误差小于O．01△?，相位误差小于5。另外，能量重心法需要用到5根以上的谱线才能保证足够的精度，因此不适合于密集频谱的校正。

2.4.2 比值法

比值法的校正步骤是：在归一化后的振幅谱线中选取相邻最大的两根进行比值(即将主谱线的幅值除以旁边幅值最大的一根谱线的幅值)，将该比值记为v，然后根据求v取比例偏差因子△k。再类似于能量重心法，根据△k进行频率、幅值和相位的校正。

文献[10]指出，当选取hanning窗时，△k可表示为：

2?v △k? (2-10)

1?v若主谱线处于k=m的位置上，则校正后的和值分别为：

???(m?△k) ;f??(m?△k)fs/N (2-11)

?类似于能量重心法，根据式(2-8)可得到初相?0估计。

文献[10]指出，加Hanning窗时，比值法的幅值校正公式为：