三年高考(2020)高考数学试题分项版解析 专题14 与数列相关的综合问题 文(含解析)

3.【2020天津，文18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0， .

（Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和. 【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的公比为，建立方程求解；（Ⅱ）先求的通项，再求，再根据错位相减法求和.

（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有 ， ，

上述两式相减，得 . 得.

所以，数列的前项和为.

【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.

【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. 4.【2020北京，文15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求和：．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）设等差数列和等比数列的公差和公比分别为和，代入建立方程，求解；（Ⅱ）若是等比数列，那依然是等比数列，并且公比是，根据等比数列求和.

【考点】1.等比，等差数列；2.等比数列的前项和.

【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. 5.【2020江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”. （1）证明：等差数列是“数列”;

（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析

（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此， 当时，，① 当时，.② 由①知，，③ ，④

将③④代入②，得，其中， 所以是等差数列，设其公差为. 在①中，取，则，所以， 在①中，取，则，所以， 所以数列是等差数列.

【考点】等差数列定义及通项公式 【名师点睛】证明为等差数列的方法： (1)用定义证明：为常数）； (2)用等差中项证明：； (3)通项法：为的一次函数； (4)前项和法：

2020年高考全景展示 1.【2020高考浙江文数】如图，点列分别在某锐角的两边上，且 ，.(P≠Q表示点P与Q不重合)若，为的面积，则（ ）

A.是等差数列 B.是等差数列 C.是等差数列 D.是等差数列

【答案】A 【解析】

试题分析：表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A． 考点：新定义题、三角形面积公式.

【思路点睛】先求出的高，再求出和的面积和，进而根据等差数列的定义可得为定值，即可得是等差数列．

2.【2020高考上海文科】无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________. 【答案】4 【解析】

考点：数列的求和.

【名师点睛】从研究与的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列由k个不同的数组成”的不同和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等. 3.【2020高考新课标1文数】（本题满分12分）已知是公差为3的等差数列,数列满足,. （I）求的通项公式； （II）求的前n项和. 【答案】（I）（II） 【解析】

试题分析：（I）由已知条件求出首项为2,根据公差为3,即可确定等差数列的通项公式；（II）先判断是等比数列,再求出通项公式,最后,再利用等比数列求和公式求的前n项和.

试题解析：（I）由已知,得得,所以数列是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为. （II）由（I）和,得,因此是首项为1,公比为的等比数列.记的前项和为,则 考点：等差数列与等比数列

【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 4.[2020高考新课标Ⅲ文数]已知各项都为正数的数列满足，. （I）求；

（II）求的通项公式. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）将代入递推公式求得，将的值代入递推公式可求得；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式．

考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式．

【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解． 5.【2020高考山东文数】（本小题满分12分） 已知数列的前n项和，是等差数列，且. （I）求数列的通项公式； （II）令.求数列的前n项和. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ） 【解析】

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又， 即， 所以，

以上两式两边相减得。 所以

考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.

【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确