三年高考(2020)高考数学试题分项版解析 专题14 与数列相关的综合问题 文（含解析）

专题14 与数列相关的综合问题 文

考纲解读明方向

考点 1.数列求和 见方法 能在具体的问题情境中识别数列的等选择题 2.数列的综合应用 差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能用有关知识解决相应的问题

分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等.

2020年高考全景展示 1．【2020年浙江卷】已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. 【答案】B

点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如

2.【2020年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27

【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.

点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.

3.【2020年浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列 {bn}满足b1=1，数列{（bn+1?bn）an}的前n项和为2n+n．

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内容解读 掌握非等差、等比数列求和的几种常要求 常考题型 预测热度 掌握 解答题 ★★★ 掌握 解答题 ★★★ （Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比，（Ⅱ）先根据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求. 详解：（Ⅰ）由是的等差中项得，所以， 解得.由得，因为，所以.

（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得. 由（Ⅰ）可知，所以，故， .设， 所以，因此， 又，所以.

点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

4．【2020年天津卷文】设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前

*

n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．

（Ⅰ）求Sn和Tn；

（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.

【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合题意可得等差数列的首项和公差为，则其前n项和.（II）由（I），知据此可得解得（舍），或.则n的值为4.

点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.

5.【2020年江苏卷】设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s

（2）求的表达式(用n表示)． 【答案】（1）2 5 2）n≥5时，

【解析】分析：（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为2的个数，再利用枚举法确定含四个元素的集合中逆序数为2的个数；（2）先寻求含n个元素的集合中逆序数为2与含n+1个元素的集合中逆序数为2的个数之间的关系，再根据叠加法求得结果.

点睛：探求数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.寻求相邻项之间的递推关系，是求数列通项公式的一个有效的方法. 6．【2020年江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列． （1）设，若对均成立，求d的取值范围；

（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）． 【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。

【解析】分析：（1）根据题意结合并分别令n=1，2，3，4列出不等式组，即可解得公差d的取值范围；（2）先根据绝对值定义将不等式转化为，根据条件易得左边不等式恒成立，再利用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差d的取值范围.

详解：解：（1）由条件知：．因为对n=1，2，3，4均成立， 即对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得． 因此，d的取值范围为．

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

2020年高考全景展示 1.【2020课标3，文17】设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）先由题意得时，，再作差得，验证时也满足（2）由于，所以利用裂项相消法求和.

【考点】数列通项公式，裂项法求和

【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.

2.【2020山东，文19】（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. (I)求数列{an}通项公式；

(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和. 【答案】(I)；(II) 【解析】

试题分析：(I)列出关于的方程组,解方程组求基本量；(II)用错位相减法求和.

(II)由题意知 , 所以, 令, 则 因此 , 又, 两式相减得 所以.

【考点】等差数列的通项,错位相减法求和.

【名师点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．