【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第二章 解三角形单元检测(B)北师大版必修5

4．D [由正弦定理得＝，

sin Bsin C∴sin C＝

bcc·sin B2sin 120°1

＝＝， b26

∵c

∴C＝30°，∴A＝180°－120°－30°＝30°.∴a＝c＝2.]

222222

5．D [由余弦定理得BC＝AB＋AC－2AB·AC·cos A，即7＝5＋AC－10AC·cos 120°，

∴AC＝3.由正弦定理得sin BAC3

sin C＝AB＝5

.] ?22

2

2

6．D [由题意，x应满足条件?

?＋4－x>0??22＋x2－42

>0

解得：23

7．D [由正弦定理得1510

sin 60°＝sin B.

∴sin B＝10·sin 60°3

15＝3

.

∵a>b，A＝60°，∴B<60°. ∴cos B＝1－sin2

B＝1－(

33)2＝63

.] 8．B [A：a＝bsin A，有一解；

B：A>90°，a>b，有一解； C：a

D：c>b>csin B，有两解．]

9．D [由余弦定理AC2＝AB2＋BC2

－2AB·BCcos B， ∴12

＝(3)2

＋BC2

－2×3×BC×32

. 整理得：BC2

－3BC＋2＝0. ∴BC＝1或2.

当BC＝1时，S1113

△ABC＝2AB·BCsin B＝2×3×1×2＝4.

当BC＝2时，S1113

△ABC＝2AB·BCsin B＝2×3×2×2＝2.]

10．C [由S13

△ABC＝2BC·BAsin B＝2

得BA＝1，由余弦定理得

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B， ∴AC＝3，∴△ABC为直角三角形，

其中A为直角，∴tan C＝AB＝

3

AC3

.] 11．C [由已知，得cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2， 又|cos(A－B)|≤1，|sin(A＋B)|≤1， 故cos(A－B)＝1且sin(A＋B)＝1，

5

即A＝B且A＋B＝90°，故选C.]

12．B [由a＋b＋c＝2ca＋2bc，得cosC＝

4

4

4

22

22

2

a2＋b2－c2

ab22

＝

a4＋b4＋c4＋2a2b2－2c2a2－2b2c21

＝22

4ab2

13．45°

sin Asin B解析 由正弦定理，＝. cos C＝±

2

.∴角C为45°或135°.] 2

ab∴

sin Bcos B＝.∴sin B＝cos B.

bb∴B＝45°.

14．103

解析 设AC＝x，则由余弦定理得： BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，

22

∴49＝25＋x－5x，∴x－5x－24＝0. ∴x＝8或x＝－3(舍去)．

1

∴S△ABC＝×5×8×sin 60°＝103.

215．86

解析 如图所示，

在△PMN中，＝，

sin 45°sin 120°64×3∴MN＝＝326，

2∴v＝＝86(海里/小时)．

416.3 3

PMMNMNb2＋c2－a2a2＋b2－c2

解析 由(3b－c)cos A＝acos C，得(3b－c)·＝a·，即

2bc2abb2＋c2－a233

＝，由余弦定理得cos A＝. 2bc3317．解 在△ACD中，∠DAC＝α－β，

ACDC由正弦定理，得＝sin β∴AC＝

α－β

，

asin β

α－β

∴AB＝AE＋EB＝ACsin α＋h＝

asin βsin α

α－β

＋h.

18．解 (1)∵a＝2bsin A，∴sin A＝2sin B·sin A

6

1π

∴sin B＝.∵0

22

(2)∵a＝33，c＝5，B＝30°. 22222

由余弦定理b＝a＋c－2accos B＝(33)＋5－2×33×5×cos 30°＝7. ∴b＝7.

222

19．解 (1)在△POC中，由余弦定理，得PC＝OP＋OC－2OP·OC·cos θ＝5－4cos θ， π?5313?所以y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sin θ＋×(5－4cos θ)＝2sin?θ－?＋. 3?244?ππ5π53

(2)当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.

326453

答 四边形OPDC面积的最大值为2＋. 4

20．解 ①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．

dsin α2

②第一步：计算AM，由正弦定理AM＝；

sin(α1＋α2)dsin β2

第二步：计算AN.由正弦定理AN＝；

sin(β2－β1)

第三步：计算MN，由余弦定理

MN＝AM2＋AN2－2AM×ANcos(α1－β1).

22

21．解 (1)由余弦定理及已知条件得a＋b－ab＝4. 又因为△ABC的面积等于3，

1

所以absin C＝3，由此得ab＝4.

2

??a＋b－ab＝4，

联立方程组?

?ab＝4，?

2

2

??a＝2，

解得?

?b＝2.?

(2)由正弦定理及已知条件得b＝2a.

2

2

??a＋b－ab＝4，

联立方程组?

?b＝2a，?

23

?a＝

?3，解得?

43b＝??3.

123

所以△ABC的面积S＝absin C＝.

23

22．解 ∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°. 在△POC中，由正弦定理得＝，

sin∠PCOsin θ

OPCP 7

∴

2sin 120°＝CPsin θ，∴CP＝4

3

sin θ.

又OC0°－θ＝24

sin 120°，∴OC＝3sin(60°－θ)．

因此△POC的面积为

S(θ)＝12

CP·OCsin 120°

＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32 ＝4

3

sin θsin(60°－θ) ＝

4

3

sin θ??3?2cos θ－1?

2sin θ??

＝2sin θ·cos θ－22

3sinθ

＝sin 2θ＋33

3cos 2θ－3

＝

23π?33sin???

2θ＋6??－3

∴θ＝π6时，S(θ)取得最大值为3

3

.

8