2019届高考数学一轮复习 第11单元 选考4系列作业 理

则|OA|2+|OB|2

=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4,

令t=1+sin2

α,则t∈(1,2),

则|OA|2+|OB|2

=+4t-4,∵函数y=+4t-4在(1,2)上单调递增,

∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).

8. 解:(1)由得

∴圆C的普通方程为(x-a)2+y2=a2,即圆心为(a,0),半径r=a.

∵ρsin=ρsin θcos+ρcos θsin=2,

把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得直线l的直角坐标方程为x+y-4=0.

∵圆心到直线l的距离d=,∴|AB|=2=2,即a2-=2,

解得a=2或a=-10,∵0

+y2

=4,

把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得(ρcos θ-2)2

+(ρsin θ)2

=4, 化简得圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.

依题意,设M(ρ1,θ1),N,

则-<θ1<,-<θ1+<,∴-<θ1<,

∴|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4cos θ1+4cos=6cos θ1-2sin θ1=4cos,

∵-<θ1+<,∴|OM|+|ON|的最大值为4.

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课时作业(六十八)

1. 解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=1,根据ρ=x+y可得曲线C的直角坐标方程为x+y=1,

2

2

2

2

2

将代入x+y=1,得t-4tsin φ+3=0(*),

222

由16sinφ-12>0,得|sin φ|>2

,又0≤φ<π,

∴φ的取值范围是.

(2)设P1(t1cos φ,-2+t1sin φ),P2(t2cos φ,-2+t2sin φ),由(1)中的(*)可知,=2sin φ,

∴可得P1P2中点的轨迹方程为φ为参数,<φ<.

故线段P1P2中点轨迹的参数方程为φ为参数,<φ<.

2. 解:(1)直线l的参数方程为

2

2

2

(t为参数),曲线C的直角坐标方程为y=2x.

2

(2)把直线l的参数方程代入y=2x,得tsinα-(2cos α+8sin α)t+20=0,设A,B两点对应的参数分别

为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=,根据参数t的几何意义,可得|MA||MB|=|t1t2|==40,所以

α=或α=.又因为Δ=(2cos α+8sin α)2-80sin2α>0,所以α=.

3. 解:(1)由消去t,得xsin φ-ycos φ+2cos φ=0,

所以直线l的普通方程为xsin φ-ycos φ+2cos φ=0. 由ρcosθ=8sin θ,得(ρcos θ)=8ρsin θ,

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22

把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得x=8y, 所以曲线C的直角坐标方程为x=8y.

(2)将直线l的参数方程代入x=8y,得tcosφ-8tsin φ-16=0, 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,

2

2

2

2

2

则t1+t2=,t1t2=-,

所以|AB|=|t1-t2|===,

当φ=0时,|AB|取得最小值,为8.

4. 解:(1)易知曲线C1的直角坐标方程为x+y=1,圆心为(0,0),半径为1,曲线C2的普通方程为y=x+2,

2

2

圆心到直线的距离d==,所以C1上的点到C2的距离的最小值为-1.

(2)伸缩变换为所以C'1:+=1,故C'1:+=1.

2

将C2的参数方程与C'1的方程联立,得7t+2t-10=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则

t1+t2=-,t1t2=-,因为t1t2=-<0,

所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=.

5. 解:(1)由ρ=2

可得ρ(1+2sinθ)=3,又x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ=x+y,

22222

∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,点A的直角坐标为(3,).

(2)曲线C的参数方程为(α为参数,α∈[0,2π)),∴设B(cos α,sin α),

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依题意可得|BE|=3-cos α,|BF|=-sin α,

矩形BEAF的周长为2|BE|+2|BF|=6+2-2cos α-2sin α=6+2-4sin,

当α=时,周长取得最小值,为2+2,此时点B的直角坐标为.

6. 解:(1)∵曲线C1的参数方程为(φ为参数),

∴曲线C1的普通方程为+=1. ∵ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,

∴ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ+1=0可化为x2+y2-2x+2y+1=0,

即曲线C2

2

2的直角坐标方程为(x-1)+(y+1)=1. (2)∵曲线C1的右焦点F的坐标为(2,0),

∴直线l的参数方程为

(t为参数).

将直线l的参数方程代入(x-1)2

+(y+1)2

=1, 得t2

+2(sin α+cos α)t+1=0,

∵直线l与曲线C2相交于不同的两点M,N,∴Δ>0,

∴0<α<,

设M,N对应的参数分别为t1,t2,

则+=-=-=2(sin α+cos α)=2sin,

∴

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