2019-2020年中考数学 专题34 动态几何之面动形成的最值问题（含解析）

2019-2020年中考数学 专题34 动态几何之面动形成的最值问题（含解析）

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。本专题原创编写面动形成的最值问题模拟题。

在中考压轴题中，面动形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。

1. 如图，菱形ABCD中，边长为2，∠B=60°，将△ACD绕点C旋转，当AC（即A′C）与AB交于一点E，CD（即CD′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF。试探究△AEF的周长是否存在最小值，如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值。

【答案】解：△AEF的周长存在最小值。理由如下：

根据菱形和旋转的性质，以及∠B=60°，可得△ABC，△ACD和△A′CD′是等边三角形，

∴∠BCA=∠BCE+∠ACE=60°，∠ECF=∠ACF+∠ACE=60°。∴∠BCE=∠ACF。 在△BCE与△ACF中，BC=AC，∠EBC=∠FAC=60°，∠BCE=∠ACF， ∴△BCE≌△ACF（ASA）。∴BE=AF，CE=CF，AE+AF=AE+BE=AB。 ∵∠ECF=60°，故△ECF是等边三角形，EF=CF。

∵CF的最小值为点C到AD的距离3（如图），∴EF的最小值是3。 ∵△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，∴△AEF的周长的最小值为2+3。

【考点】旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，点到直线距离的性质。

2. 将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，∠A=∠D=45°，将图①中的△DCE顺时针旋转得图②，点P是AB与CE的交点，点Q是DE与BC的交点，在DC上取一点F，连接BE、FP，设BC=1，当BF⊥AB时，求△PBF面积的最大值。

【答案】解：∵∠ACB =90°，∠A=45°，

∴∠A=∠ABC=45°。 ∴AC=BC=1 。

∵BF⊥AB，

∴∠CBF=45°。 ∴∠A=∠CBF。

由旋转的性质可得：∠BCF=∠ACP，

∴△BCF≌△ACP(ASA)。 ∴BF=AP。

∵∠ACB =90°，∠A=45°，AC =1， ∴AB=2。

设BP=x，则BF=AP=2?x，

∴S?PBF1??x?2?121?2?12?x??x2?x???x????4。 222?2???2∵?<0，∴当x= 1221时，S?PBF（max）= 。 24【考点】旋转问题，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，二次函数最值。

3. 如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为 ▲ ．

【答案】2??4. 【解析】

考点：1. 勾股定理；2.扇形面积的计算；3.二次函数的最值；4.转换思想的应用．