【中小学资料】2018版高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.1 归纳与类比试题 理 北师大

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＋xx 3＋33＋3·3＋x3＋33

3＋33

xx13

x＝

13

xx3＋3＝

＝

3＋3

3

. 3

10．(2016·泉州模拟)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 122

已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a1＋a2≥.

2证明：构造函数f(x)＝(x－a1)＋(x－a2)， 即f(x)＝2x－2(a1＋a2)x＋a1＋a2 ＝2x－2x＋a1＋a2.

因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，

12222

所以Δ＝4－8(a1＋a2)≤0，从而得a1＋a2≥. 2

(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明． (1)解 若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1， 1222

则a1＋a2＋…＋an≥. 2

2

2

2

2

22

2

n(2)证明 构造函数f(x)＝(x－a1)＋(x－a2)＋…＋(x－an). 即f(x)＝nx－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a1＋a2＋…＋an ＝nx－2x＋a1＋a2＋…＋an， 因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0， 所以Δ＝4－4n(a1＋a2＋…＋an)≤0， 1222

从而得a1＋a2＋…＋an≥.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

n11.对于三次函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝

32

f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函

13125

数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x－x＋3x－，请你根据这一发3212现，

(1)求函数f(x)的对称中心；

12342 016

(2)计算f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()．

2 0172 0172 0172 0172 017

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解 (1)f′(x)＝x－x＋3，f″(x)＝2x－1， 1

由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.

2

2

f()＝×()3－×()2＋3×－＝1.

131251

由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x－x＋3x－的对称中心为(，1)．

32122

13125111

(2)由(1)知函数f(x)＝x－x＋3x－的对称中心为(，1)，所以f(＋x)＋f(－x)＝2，

3212222即f(x)＋f(1－x)＝2. 12 016

故f()＋f()＝2，

2 0172 017

121312121215212

f(f(

22 015

)＋f()＝2， 2 0172 01732 014

)＋f()＝2， 2 0172 017

…，

f(

2 0161

)＋f()＝2. 2 0172 017

12342 0161所以f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()＝×2×2 016＝2 016.

2 0172 0172 0172 0172 0172

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