当前位置：首页 > 【中小学资料】2018版高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.1 归纳与类比试题 理 北师大
中小学最新教育资料 伪性．
(1)(2015·陕西)观察下列等式：
111－＝， 22
111111－＋－＝＋， 23434
111111111－＋－＋－＝＋＋， 23456456…
据此规律，第n个等式可为_______________________________________________________． (2)(2016·抚顺模拟)观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．
11111111答案 (1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
2342n－12nn＋1n＋22n(2)183
解析 (1)等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，11111
故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：
2342n－12n第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为111
＋＋…＋. n＋1n＋22n2
2
(2)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x”处应填的数字是3＋5＋7＋10＝183. 题型二 类比推理
→→→→
例5 (1)(2017·西安质检)对于命题：如果O是线段AB上一点，则|OB|OA＋|OA|OB＝0；将→→→
它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________． (2)求
1＋1＋1＋…的值时，采用了如下方法：令
1＋1＋1＋…＝x，则有x＝
12＋
111＋12＋…
的值为
2
2
1＋x，解得x＝
1＋5
(负值已舍去)．可用类比的方法，求得1＋2
________． 中小学最新教育资料
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→→→→
答案 (1)VO－BCD·OA＋VO－ACD·OB＋VO－ABD·OC＋VO－ABC·OD＝0 1＋3(2)
2
解析 (1)线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为VO－
BCD→→→→
·OA＋VO－ACD·OB＋VO－ABD·OC＋VO－ABC·OD＝0.
11
(2)令1＋＝x，则有1＋＝x，
112＋2＋…x1＋3
解得x＝(负值已舍去)．
2
思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．
(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．
在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案
PaPbPchahbhcPaPbPcPd＋＋＋＝1 hahbhchd解析 设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，
PaPbPcPdP到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：＋＋＋＝1.
hahbhchd题型三 演绎推理
例6 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝an＋1－4n－1，n∈N＋，且a2，
2
a5，a14构成等比数列．
(1)证明：a2＝4a1＋5； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有2
1
a1a2a2a3
2
＋
1
＋…＋1<. anan＋12
1
(1)证明 当n＝1时，4a1＝a2－5，a2＝4a1＋5， 又an>0，∴a2＝4a1＋5.
(2)解 当n≥2时，4Sn－1＝an－4(n－1)－1， ∴4an＝4Sn－4Sn－1＝an＋1－an－4， 即an＋1＝an＋4an＋4＝(an＋2)， 中小学最新教育资料
2
2
2
2
2
2
中小学最新教育资料 又an>0，∴an＋1＝an＋2，
∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列． 又a2，a5，a14成等比数列，
∴a5＝a2·a14，即(a2＋6)＝a2·(a2＋24)， 解得a2＝3. 由(1)知a1＝1， 又a2－a1＝3－1＝2，
∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列． ∴an＝2n－1. (3)证明 ＝
1
2
2
a1a2a2a3
＋
1
＋…＋1
anan＋1
1
111＋＋＋…＋1×33×55×7
n－n＋
111111＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)] 23352n－12n＋1111＝(1－)<. 22n＋12
思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以
参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( ) A．大前提错误 C．推理形式错误
B．小前提错误 D．非以上错误
(2)(2016·洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 答案 (1)C (2)B
解析 (1)因为大前提“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．
(2)A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C、D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C、D都不正确，只有B正确，故选B. 中小学最新教育资料
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10．高考中的合情推理问题
考点分析 合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档．
解决此类问题的注意事项与常用方法：
(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．
(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题． 典例 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测： ①b2 014是数列{an}的第________项； ②b2k－1＝________.(用k表示)
(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1 ②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0 解析 (1)①an＝1＋2＋…＋n＝ nn＋ 2 ， b1＝b2＝b3＝ 4×5 ＝a4， 25×6 ＝a5， 2 2 ＝a9， 中小学最新教育资料 搜索更多关于： 【中小学资料】2018版高考数学大一轮复习 第十三章 推理与 的文档
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