2017-2018学年高中数学必修四教学案（16份） 人教课标版15（优秀教案）

．平面向量的线性运算及运算律

()向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即

向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．

加法满足交换律、结合律．

()向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．

几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．

()数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． ．向量共线及平面向量基本定理

()共线向量定理：向量(≠)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得＝λ. 共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法． 特别地，平面内一点位于直线上的条件是存在实数，使一点，有

，或对直线外任意

()平面向量基本定理：如果向量，不共线，那么对于平面内的任一向量，有且只有一对实数 λ，λ，使＝λ＋λ.其中，是平面的一组基底，，分别称为基向量．

由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．

[典例] 如图，梯形中，∥，点、分别是、的中点，且＝，设基底表示向量

、

＝，

＝，以、为

[对点训练]

()确定点在边上的位置．

所以解得

所以解得

即＝，是边上靠近的三等分点.

若＝(，)，＝(，)，则 ①＋＝(＋，＋)； ②－＝(－，－)； ③λ＝(λ，λ)； ④·＝＋；

⑤∥?＝λ，＝λ(λ∈)，或＝(≠，≠)； ⑥⊥?＋＝； ⑦＝＝＋)；

⑧若θ为与的夹角，则

θ＝＝＋)(＋)) .

[典例] ()已知点(，)，(，－)，则与向量同方向的单位向量为( )

()已知向量＝(，)，＝(，), 若∥, 则实数等于( ) ．－ ．－或 ．

()已知点(－，)、(，)、(－，－)、(，)，则向量在

方向上的投影为( )

．－ ．－ 解析：()由已知，得＝(，－)，

所以＝，

因此与

同方向的单位向量是

＝.

()∥的充要条件的坐标表示为×－＝，∴＝±，选. ()

＝(，)，

＝(，)，向量

＝(，)在

＝(，)上的投影为

，

答案：() () () [对点训练]

．()若(，－)，(－，)，(，)三点共线，则＝( ) ． ．－ ． ．－

()已知向量＝(，)，＝(－，－)，＝，若(－)·＝，则与的夹角为( ) ．° ．° ．° ．° 解析：()＝(－，)，

＝(，＋)．

∵

∥

，∴－(＋)－＝.∴＝－.

()·＝－，

则(－)·＝·－·＝·＋＝， 所以·＝－， 设与的夹角为θ，

则θ＝＝＝－，又θ∈[°，°]， 所以θ＝°. 答案：() ()

．两向量的数量积及其运算律

＝