直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题 (韩)

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=BF=AE，DF=BF=AE，再根据等边对等角可得∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFD=2∠ABC，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．

【解答】证明：∵∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点， ∴AF=BF=AE，DF=BF=AE， ∴AF=DF，

∴∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，

由三角形的外角性质得，∠AFD=∠ABF+∠BAF+∠DBF+∠BDF=2∠ABC， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， ∴∠AFD=90°， ∴AF⊥DF，

综上所述，AF⊥DF，AF=DF．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．

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22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．

【分析】延长FE交AC于点G，利用角平分线的性质可知EG=ED，然后证明△CEG≌△FED，得出CE=FE，利用等腰三角形的性质，平行线的性质即可求出∠ECF=∠BCF．

【解答】解：延长FE交AC于点G， ∵DE=DF，CD是斜边AB上的高， ∴∠DEF=45°， ∵∠DCB=45°， ∴EF∥BC，

∴∠EFC=∠FCB，∠CGF=90°， ∵AE平分∠CAB， ∠CGF=∠BDC=90°， ∴GE=DE，

在△CGE与△FDE中，

，

∴△CGE≌△FDE（ASA）， ∴CE=FE， ∴∠ECF=∠EFC，

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∴∠ECF=∠BCF， ∴CF平分∠DCB．

【点评】本题考查等腰三角形的性质，涉及全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，综合程度较高．

23．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．

【分析】由△OBD和△OCA是等腰直角三角形得到∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，由M为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DM=AM=BM，CM=AM=BM，则CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，理由三角形外角性质得∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，则∠AMD﹣∠AMC=2（∠MBD﹣∠MBC）=2∠OBD=90°，于是可得到△CDM为等腰直角三角形．

【解答】解：△CDM为等腰直角三角形．理由如下： ∵△OBD和△OCA是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，

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而M为AB的中点，

∴DM=AM=BM，CM=AM=BM，

∴CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC， ∴∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，

∴∠AMD﹣∠AMC=2（∠MBD﹣∠MBC）=2∠OBD=90°， 即∠CMD=90°， ∵CM=DM，

∴△CDM为等腰直角三角形．

同理可得：第2个图中△CDM为等腰直角三角形．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质、三角形外角的性质，灵活利用直角三角形的斜边上的中线的性质是关键．

24．（2010?渝中区模拟）如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点． （1）求证：△BMD为等腰直角三角形；

（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．

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