直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题 (韩)

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根据等边对等角的性质可以证明∠BMD=90°，所以△BMD为等腰直角三角形；

（2）延长DM交BC于N，先根据∠EDB=∠ABC=90°证明ED∥BC，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠DEM=∠MCN，从而证明△EDM与△MNC全等，根据全等三角形对应边相等可得DM=MN，然后即可证明BM⊥DM，且BM=DM．

【解答】（1）证明：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点， ∴BM=EC=MC， ∴∠MBC=∠MCB．

∴∠BME=2∠BCM．（2分）

同理可证：DM=EC=MC，∠EMD=2∠MCD． ∴∠BMD=2∠BCA=90°，（4分） ∴BM=DM．

∴△BMD是等腰直角三角形．（5分）

（2）（1）题中的结论仍然成立．

理由：延长DM与BC交于点N，（6分） ∵DE⊥AB，CB⊥AB，

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∴∠EDB=∠CBD=90°， ∴DE∥BC． ∴∠DEM=∠MCN．

又∵∠EMD=∠NMC，EM=MC， ∴△EDM≌△MNC．（8分） ∴DM=MN．DE=NC=AD． 又AB=BC，

∴AB﹣AD=BC﹣CN， ∴BD=BN．

∴BM⊥DM．即∠BMD=90°．（9分） ∵∠ABC=90°， ∴BM=DN=DM．

∴△BMD是等腰直角三角形．（10分）

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握判定定理及性质并灵活运用是解题的关键，难度中等．

25．（2011秋?昌平区校级期中）已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°

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（1）求证：△DEF为等腰直角三角形； （2）求证：S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF；

（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由．

【分析】（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，从而得到∠1=∠B，再根据同角的余角相等求出∠2=∠4，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证；

（2）同理求出△ADE和△CDF全等，根据全等三角形的面积相等即可得证； （3）依然成立，连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，∠CAD=45°，再根据等角的补角相等求出∠DAF=∠DBE，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证． 【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°， ∴∠1=∠B=45°， ∵∠EDF=90°， ∴∠2+∠3=90°， 又∵∠3+∠4=90°，

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∴∠2=∠4，

在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴DE=DF， 又∵∠EDF=90°，

∴△DEF为等腰直角三角形；

，

（2）解：同理可证，△ADE≌△CDF， 所以，S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△BDE+S△CDF， 即S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF；

（3）解：仍然成立．如图，连接AD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点， ∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，

∵∠DAF=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°， ∠DBE=180°﹣∠ABC=180°﹣45°=135°， ∴∠DAF=∠DBE， ∵∠EDF=90°， ∴∠3+∠4=90°， 又∵∠2+∠3=90°， ∴∠2=∠4，

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