2019_2020学年高中数学第1章1.3导数在研究函数中的应用课时作业9函数的最大小值与导数新人教A版选修2_2

线斜率均为－1，有以下命题：

①f(x)的解析式为f(x)＝x－4x，x∈[－2,2]； ②f(x)的极值点有且仅有一个； ③f(x)的最大值与最小值之和等于零． 其中正确的命题个数为________． 答案 2

解析 因为曲线过原点，所以c＝0，又在x＝±1处的切线斜率为－1，所以有

??3＋2a＋b＝－1，???3－2a＋b＝－1，

3

??a＝0，

解得?

??b＝－4，

所以f(x)的解析式为f(x)＝x－4x，x∈[－2,2]，故

3

23??23??2

①正确；又f′(x)＝3x－4，则函数在?－2，－?和?，2?上单调递增，在x∈

3??3??

?2323?

?－，?上单调递减，所以函数的极值点有两个，故②不正确；因为f(－2)＝0，f(2)

3??3

163?23?163?23?

＝0，f?－?＝9，f??＝－9，所以函数f(x)的最大值与最小值之和等于零，故

?3??3?③正确．所以正确命题的个数为2.

三、解答题

9．已知函数f(x)＝ax＋x＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数． (1)求f(x)的表达式；

(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解 (1)∵f′(x)＝3ax＋2x＋b，

∴g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax＋(3a＋1)x＋(b＋2)x＋b. ∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)， 1

从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，

3132

因此f(x)的表达式为f(x)＝－x＋x.

3

132

(2)由(1)知g(x)＝－x＋2x，∴g′(x)＝－x＋2，

3令g′(x)＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝2， 5424

而g(1)＝，g(2)＝，g(2)＝，

333

424

因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)＝，最小值为g(2)＝.

3310．已知函数f(x)＝ln x＋.

3

2

23

2

ax - 5 -

(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；

3

(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．

2解 函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)， 1ax－af′(x)＝－2＝2，

xxx(1)∵a<0，∴f′(x)>0，

故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：

①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，3

e]上的最小值是相矛盾；

2

3

②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相2矛盾；

③当10，

axf(x)单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝e；

④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)<0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，3

这与最小值是相矛盾；

2

⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小

e3

值是相矛盾．

2

综上所述，a的值为e.

32

a - 6 -