2021届新高考版高考数学考点通关提升训练：第五章第四讲 数列求和及数列的综合应用

(1)根据题意可知{an}是分段数列,其中第一段是等差数列,第二段是等比数列,根据等

差、等比数列的通项公式即可得到an的表达式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,根据等差、等比数列的前n项和公式求出S20,并比较与49的大小,即可得出结论.

(1)由题意知,当1≤n≤10时,数列{an}是首项为45.5,公差为0.5的等差数列,可得an=45.5+0.5×(n - 1)=0.5n+45,则a10=50;

当11≤n≤20时,数列{an}是公比为0.99的等比数列,则an=50×0.99n - 10.

故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人)的表达式为

an=

(2)设Sn为数列{an}的前n项和.从2019年到2038年共20年,由等差数列及等比数列的求和公式得S20=S10+(a11+a12+…+a20)=477.5+4950×(1 - 0.9910)≈972.5.

所以“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值为≈48.63,则<49, 故到2038年结束后不需要调整政策.

7.[2017全国卷Ⅰ]几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激

发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

( )

A.440

B.330

C.220

D.110

数学探究 数列的新定义问题

10[2016全国卷Ⅱ]Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b1,b11,b101;

(2)求数列{bn}的前1 000项和.

关键信息

Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28 bn=[lgan],[x]的定义 数列{bn}的前1000项和

信息转化

可以求得数列{an}的通项公式 可以分别求解b1,b2,b3,…,b1000

分组求和

(1)设{an}的公差为d, 据已知有7+21d=28,解得d=1. 所以{an}的通项公式为an=n.

b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.

(2)记{bn}的前n项和为Tn,则T1000=b1+b2+…+b1000=[lga1]+[lga2]+…+[lga1000], 当0≤lgan<1时,n=1,2,…,9; 当1≤lgan<2时,n=10,11,…,99; 当2≤lgan<3时,n=100,101,…,999; 当lgan=3时,n=1000.

所以bn=

所以数列{bn}的前1000项和为0×9+1×90+2×900+3×1=1893.

取整函数具有天生的“离散性”,与数列的“离散性”相似,常常作为数列的新定义问题的载体.本题以取整函数为载体,考查了取整函数的性质,同时考查了逻辑推理素养与运算求解能力.

素养探源

核心素养

考查途径

素养水平 二

逻辑推理 {bn}的通项公式的规律的发现.

{an}的通项公式的求解,{bn}的前1000项和的求解.

数学运算 一

8.[2019广东梅州二模]给出定义:x=[x]+,[x]∈Z,0≤<1,其中[x]表示x的整数

部分,表示x的小数部分.已知数列{an}满足a1=

,an+1=[an]+

,则a2 019 - a2 018等于 ( ) A.2 019 - B.2 018+ C.6+ D.6 -

数学文化 数列与数学文化

11 [2018北京高考]“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于A.

.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为 f B.

f C.

f

D.

f

,第一

因为从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于个单音的频率为f ,所以这十三个单音的频率构成一个首项为f ,公比为{an},则第八个单音的频率为a8=f ·(

D

)8 - 1=

f ,故选D.

的等比数列,记为

“十二平均律”是由中国明代律学家朱载堉发明的,本题以此为背景,不仅弘扬了中国传

统文化,还考查了等比数列的通项公式及定义,考查了逻辑推理素养与运算求解能力,体现了等比数列在实际生活中的应用. 素养探源

核心素养 数学建模

考查途径

从情境中抽象出等比数列模型.

素养水平 二

9.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,与莫高窟、

云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处浮雕共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1 016个浮雕,这些浮雕构成一幅优美的图案.若从最下层往上,浮雕的数量构成一个数列{an},则log2(a3a5)的值为 A.8 B.10 C.12 D.16

( )

答案解析

1.255 由于an+2 - an=1+( - 1)n(n∈N*),

所以当n为奇数时,an+2=an,当n为偶数时,an+2 - an=2,

所以a1=a3=…=a29,a2,a4,…,a30构成首项为2,公差为2的等差数列.

又a1=1,所以a1+a2+a3+…+a29+a30=15+15×2+2=255.

所以该医院近30天入院治疗流感的总人数为255. 2.(1)由2Sn=3(bn - 1)知,当n=1时,b1=3,

当n≥2时,2Sn - 1=3(bn - 1 - 1),2bn=2Sn - 2Sn - 1=3(bn - 1) - 3(bn - 1 - 1), 即bn=3bn - 1,所以{bn}是首项为3,公比为3的等比数列, 所以数列{bn}的通项公式为bn=3n. 又数列{an}是等差数列,且a1=b1=3,a4=b2=9,