2021届新高考版高考数学考点通关提升训练：第五章第四讲 数列求和及数列的综合应用

2021届新高考版高考数学考点通关提升训练

第五章 数 列

第四讲 数列求和及数列的综合应用

考法1 数列求和

命题角度1 用公式法和分组转化法求和

1 [2019山东五地联考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且关于x的不等式a1x2 - S2x+2<0的解集为(1,2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=a2n+

- 1,求数列{bn}的前n项和Tn.

(1)先设等差数列{an}的公差为d,再根据题意求出a1与d,进而可求出数列{an}的通项

公式;(2)先由(1)的结论及bn=a2n+分组转化法,即可求出结果.

(1)设等差数列{an}的公差为d,

因为关于x的不等式a1x2 - S2x+2<0的解集为(1,2),

所以=1+2=3,又S2=2a1+d,所以a1=d, ........................ (1,2为一元二次方程a1x2 - S2x+2=0的两根)

- 1求出bn,再利用等差数列与等比数列的求和公式,以及

易知=2,所以a1=1,d=1.

所以数列{an}的通项公式为an=n. (2)由(1)可得,a2n=2n,因为bn=a2n+

- 1,

=2n.

所以bn=2n - 1+2n,

所以数列{bn}的前n项和Tn=(1+3+5+…+2n - 1)+(2+22+23+…+2n) .................... (分成两组求和)

=

=n2+2n+1 - 2. 解后反思

............................................... (用等差(比)数列的求和公式时注意项数)

此题的易错点有两处:一是忽视数列通项的下标,导致所求的结果出错,如在求bn时易误得a2n=n,即等号左边的下标已变,右边的代数式没变,导致所得的结果出错;二是用等差数列或等比数列的前n项和公式时,弄错项数,导致求和出错.

1.[2019湖南长沙雅礼中学模拟]春夏季节是流感多发期,某地医院近30天每天

入院治疗流感的人数依次构成数列{an},已知a1=1,a2=2,且满足an+2 - an=1+( - 1)n(n∈N*),则该医院近30天入院治疗流感的总人数为 .

命题角度2 用错位相减法求和

2 [2017天津高考]已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4 - 2a1,S11=11b4. (Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;

(Ⅱ)求数列{a2nb2n - 1}的前n项和(n∈N*).

(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q(q>0). 因为b2+b3=12,所以b1(q+q2)=12. 又b1=2,所以q+q2 - 6=0, 解得q=2(q= - 3舍去),所以bn=2n. 由b3=a4 - 2a1,S11=11b4,可得

............................... (构造方程组)

解得所以an=3n - 2.

所以数列{an}的通项公式为an=3n - 2,数列{bn}的通项公式为bn=2n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,a2n=6n - 2,b2n - 1=2×4n - 1.

设数列{a2nb2n - 1}的前n项和为Tn,a2nb2n - 1=(3n - 1)×4n, 故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n - 1)×4n ①, 4Tn=2×42+5×43+…+(3n - 4)×4n+(3n - 1)×4n+1 ②, ① - ②得,

- 3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n - (3n - 1)×4n+1 ....................... (错位相减时,注意最后一项的符号)

................................................................................................................. = - 4 - (3n - 1)×4n+1 (用公式法求和时,注意项

= - (3n - 2)×4n+1 - 8,

所以Tn=

×4n+1+.

故数列{a2nb2n - 1}的前n项和为

×4n+1+.

2.[2020四川五校联考]设数列{an}是等差数列,数列{bn}的前n项和Sn满足

2Sn=3(bn - 1)且a1=b1,a4=b2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求{anbn}的前n项和Tn.

命题角度3 用裂项相消法求和

3 [2019广东惠州第三次调研]已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=n2+3n,n∈N*. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{

}的前n项和Tn.

(1)利用an=

可求出{an}的通项公式;(2)利用(1)的结论,求出数列

{}的通项,再利用裂项相消法求出其前n项和Tn.

(1)当n≥2时,2Sn - 1=(n - 1)2+3(n - 1), 又2Sn=n2+3n,两式相减得2an=2n+2,所以an=n+1. 当n=1时,2S1=2a1=4,解得a1=2.

因为a1=2满足式子an=n+1, ....................................................... (验证首项不能漏) 故{an}的通项公式为an=n+1(n∈N*). (2)由(1)知

×

(

), ........................ (裂项,注意系数

不要漏)

所以Tn=[(

)+()+…+()]

=(1 - )

=.

3.[2017全国卷Ⅱ]等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则

命题角度4 用倒序相加法求和

= .

4已知函数f (x)=为 .

,数列{an}的通项公式为an=f (),则数列{an}的前2 019项和

由题意可得f (x)+f (1 - x)=因为数列{an}的前2019项和

=1.

S2019=f ()+f ()+…+f ()+f () ①, ......................... (这个等式的右边是2019项的和)

所以S2019=f (

)+f ()+…+f ()+f () ②, ...................................... (倒过来写)