小学奥数专题157-5 - 组合 - 题库学生版

【例 32】 有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从

中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？（8级）

【巩固】 某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种？（8级）

板块二、排除法

对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．

【例 33】 如图所示，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？（6级）

【例 34】 如图，正方形ACEG的边界上共有7个点A、B、C、D、E、F、G、其中B、D、F分别在

边AC、CE、EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同的四边形的个数是_____ 个．(小学数学奥林匹克决赛) （6级）

GABFCDE

【巩固】 图中正方形的四边共有8个点，其中任意4点不在一条直线上，那么可组成多少个四边形？（4级）

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【例 35】 如图，有5?3个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问总共可以组成＿＿＿＿个三角形．（4

级）

【例 36】 在100~1995的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？（4级）

【例 37】 1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？（6级）

【巩固】 所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？（6级）

【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？（6级）

【例 38】 在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？（6级）

【例 39】 由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有 个．（6级）

【例 40】 从三个0、四个1，五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？（6级）

【例 41】 10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？（6级）

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【例 42】 一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停．在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要

上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种？（6级）

【例 43】 8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮

必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？（6级）

【例 44】 若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”．问

一共有多少“上升的”自然数？（6级）

【例 45】 6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？（6级）

【例 46】 由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有

________个．(2007年“迎春杯”高年级组决赛) （6级）

【例 47】 5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为

顶点能构成几个三角形？(构成的三角形的边不一定在这5条直线上) （8级）

【例 48】 正方体的顶点(8个)，各边的中点(12个)，各面的中心(6个)，正方体的中心(1个)，共27个点，

以这27个点中的其中3点一共能构成多少个三角形？（6级）

【例 49】 用A、B、C、D、E、F六种染料去染图中的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，

且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有多少种不同的染色方案（旋转算不同的方法）（6级）

【解析】

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板块三、插板法

插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．

在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法． 使用插板法一般有如下三种类型：

⑴ m个人分n个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(n?1)1个空隙中放上(m?1)个插板，所以分法的数目为Cnm??1．

⑵ m个人分n个东西，要求每个人至少有a个．这个时候，我们先发给每个人(a?1)个，还剩下[n?m(a?1)]1个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为Cnm??m(a?1)?1．

⑶ m个人分n个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m个东西，每个人多发1个，这样就

m?1和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了(n?m)个，因此分法的数目为Cn?m?1．

【例 50】 有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？（4级）

【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？（6级）

【巩固】(2008年西城实验考题)有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有 种吃法．（6

级）

【巩固】（2009年十三分小升初入学测试题）把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分

到礼物，则分礼物的不同方法一共有 种．（6级）

【巩固】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人，每人至少1支，问有多少种方法？（6级）

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