2013年高考数学 第四篇 三角函数解三角形 第4讲 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教案 理 新人教版

第4讲 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

【2013年高考会这样考】

1．考查正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．

2．结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用． 3．考查y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径． 【复习指导】

本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．

基础梳理

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示

x 0－φ ω0 0 π－φ2 ωπ 2π－φ ωπ 0 3π2π－φ－φ2 ω ω3π 2－A 2π 0 ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) A 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤

3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，

T＝

2π1

叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． ωT4．图象的对称性

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： π(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称

2图形．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．

1

一种方法

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝2π

期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．

ω一个区别

由y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多ωM－m2

，k＝

M＋m2

，ω由周

少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 两个注意

作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；

(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)y＝2sin?2x－

?

π? 的振幅、频率和初相分别为( )． 4?B．2，D．2，

1π，－ 2π41π

，－ 2π8

A．2，C．2，

1π

，－ π41π，－ π8

答案 A

π

2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)?|φ|＜?的部分图象如图所示，则该简谐运动的最

?2?小正周期T和初相φ分别为( )．

A．T＝6π，φ＝C．T＝6，φ＝

π

6

B．T＝6π，φ＝D．T＝6，φ＝

π 3

π 6π 3

2

解析 由题图象知T＝2(4－1)＝6?ω＝＝1，又|φ|＜答案 C

ππ，得φ＝. 26

π?π×1＋φ?，由图象过点(1,2)且A＝2，可得sin

3?3?

π

3．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的

2解析式应为( )．

A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x 解析 由图象的平移得g(x)＝cos?x＋

?

π?＝－sin x. 2?答案 A

4．设ω＞0，函数y＝sin?ωx＋

?

π?4π

＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω3?3

的最小值是( )． 243

A. B. C. D．3 332解析 y＝sinωx＋sin?ωx＋

?

?π?4π??4π?＋π?＋2向右平移个单位后得到y1＝sin?ωx－?＋2＝3?33?3???

?

π4π?4π

－ω＋2，又y与y1的图象重合，则－ω＝2kπ(k∈Z)． 33?3

3

∴ω＝－k.又ω＞0，k∈Z，

2

3

∴当k＝－1时，ω取最小值为，故选C.

2答案 C

5．(2011·重庆六校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.

T2ππ42π3

解析 由题意设函数周期为T，则＝π－＝，故T＝π.∴ω＝＝.

43333T2

答案

3

2

3

考向一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

ππ

【例1】?设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)?ω＞0，－＜φ＜0?的最小正周期为π，且f??＝

?2??4?3. 2

(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ； (2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．

解 (1)周期T＝∵f2π

＝π，∴ω＝2， ω

?π?＝cos?2×π＋φ?＝cos?π＋φ?＝－sin φ＝3， ?4??4??2?2

ππ

＜φ＜0，∴φ＝－. 23

∵－

(2)由(1)知f(x)＝cos?2x－

?

π?，列表如下： 3?－π 30 π 61 π 25π 120 π 2π 3－1 3π 211π 120 5π 3π 1 22x－π 3x f(x) 图象如图：

0 1 2

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．

(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx 4