(自己整理)圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习

x2?y2?1．……………………………5分 所以椭圆C的标准方程为4（Ⅱ）设直线AM的方程为：y?k(x?2)，则N(0,2k)． 由 ??y?k(x?2)，22?x?4y?4,得(1+4k)x?16kx?16k?4?0（*）．

2222设A(?2,0)，M(x1,y1)，则?2，x1是方程（*）的两个根，

2?8k2所以x1?．

1?4k22?8k24k,)． 所以M(1?4k21?4k216?16k241?k22?8k2?2?8k224k2 |AM|?(． ?)?()?(1?4k2)21?4k21?4k21?4k2 |AN|?4?4k2?21?k2．

41?k2?21?k28(1?k2)|AM||AN|??．

1?4k21?4k2 设直线OP的方程为：y?kx．

?y?kx，22(1?4k)x?4?0． 由 ?2得2?x?4y?4,4k42y?设P(x0,y0)，则x0?，． 01?4k21?4k2224?4k28?8k22所以|OP|?，2|OP|?．

1?4k21?4k22所以|AM|?|AN|?2|OP|．

2X2y23例4.2:已知椭圆C：2?2?1 （a>b>0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，

2ab0），△OAB的面积为1.

（I）求椭圆C的方程；

(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。 求证：AN?BM为定值。

6x2y2练习1：已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个

3ab焦点构成的三角形的面积为(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)已知动直线y?k(x?1)与椭圆C相交于A、B两点. ①若线段AB中点的横坐标为?

52. 317,求斜率k的值;②若点M(?,0),求证:MA?MB为定值. 23练习2：已知抛物线C : y2 ＝2 px（p＞ 0），其焦点为F，O为坐标原点，直线 AB（不垂直

于x轴）

过点F 且抛物线C交于 A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为－p ． （1）求抛物线C 的方程；

（2）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点 D ，求证：

|OD|＞2

|OM|练习3：动点P(x,y)到定点F(1,0)的距离与它到定直线l:x?4的距离之比为

(Ⅰ) 求动点P的轨迹C的方程；

1. 2（Ⅱ） 已知定点A(?2,0)，B(2,0)，动点Q(4,t)在直线l上，作直线AQ与轨迹C的另一个交点为M,作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：M,N,F三点共线.

（5）圆锥曲线最值问题

x2y23例5： 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，

2ab|AB|?2.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧. 直线PA，PB与直线x?4分

别相交于M，N 两点. 若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.

解：（Ⅰ）由题意可得，b?1， …………………1分

e?c3?， …………………2分 a2a2?13?， …………………3分 得2a4 解a2?4， …………………4分

x2?y2?1. …………………5分 椭圆C的标准方程为4（Ⅱ）设P(x0,y0)(0?x0?2)，A(0,1)，B(0,?1)， 所以kPA?y0?1y?1x?1， …………………6分 ，直线PA的方程为y?0x0x0y0?1x?1， x04(y0?1)?1)， …………………7分 x0同理：直线PB的方程为y?直线PA与直线x?4的交点为M(4,直线PB与直线x?4的交点为N(4,4(y0?1)?1)， x0 线段MN的中点(4,4y0)， …………………8分 x02所以圆的方程为(x?4)?(y?4y024)?(1?)2， …………………9分 x0x0216y0x令y?0，则(x?4)?2?(1?0)2， …………………10分

x04222x0y0?112?y0?1，所以 因为， …………………11分 ??24x04所以(x?4)?28?5?0， x0因为这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以 5?88?0，解得x0?(,2]. …………………12分 x05设交点坐标(x1,0),(x2,0)，则|x1?x2|?25?88（?x0?2） x05所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分

x2y26练习1：已知椭圆C：2?2?1?a?b???的一个焦点为F(2，0)，离心率为 。过焦3ab点F 的直线l 与椭圆C交于 A，B两点，线段 AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭

圆于M，N 两点。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）求四边形AMBN 面积的最大值。

练习2：已知椭圆C：mx2?3my2?1(m?0)的长轴长为26，O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；

（Ⅱ）设点A(3,0)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA|?|BP|，求四边形OPAB面积的最小值.