分数阶导数、积分的性质及几何意义

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分数阶导数、积分的性质及几何意义

作者：武女则

来源：《哈尔滨师范大学·自然科学学报》2013年第01期

【摘 要】 介绍了分数阶微积分的历史、分数阶导数和积分的定义，接着给出了分数阶导数、积分的性质，研究了基本初等函数的分数阶导数，以及分数阶积分的结果.最后，给出了分数阶导数、积分的几何意义.

【关键词】 分数阶导数；分数阶积分；初等函数；几何意义 1 分数阶微积分的历史

分数微积分理论是专门研究任意阶（分数阶，甚至是复数阶） 微分和积分性质及其应用的领域.分数阶微积分的研究历史和整数阶微积分同样久远.早在1695年， Leibniz在写给L’Hospital的信中提到：“整数阶导数的概念能否自然的推广到非整数阶导数？” L’Hospital对这个问题感到很新奇，在回信提出：“如果求导的次数为12，那将会是怎样的情况呢？”就在这一年的9月30号，Leibniz给L’Hospital回信中写到：“这会导致悖论，不过总有一天会得到有用的结果”.因此，1695年9月30号被认为分数阶微积分的诞生日. 参 考 文 献 [1]

Lacroix S F. Traité du calcul différentiel et du calcul integral （Vol.3，2nd ed）[M]. Courcier Paris，1819.

[2] Kilbas A A， rivastava M，Trujillo J J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M]. Elsevier， 2006.

[3] Ahn H S， Chen Y Q， Podlubny I. Robust stability test of a class of linear time-invariant interval fractional-order system using Lyapunov inequality. Applied Mathematics and Computation， 2007，187：27-34.

[4] El-Borai M M， SaidKh E l， Nadi E l， et al. Fractional evolution equations with nonlocal conditions. Int J of Appl Math and Mech， 2008（6）： 1-12.

[5] Shahin A M， Ahmed E， Omar Yassmin A. On fractional order quantum mechanics[J]. International Journal of Nonlinear Science，2009（8）：469-472.