专题21 抛物线综合-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)

专题21 抛物线综合

【母题来源一】【2019年高考浙江卷】如图，已知点F(1,0)为抛物线y?2px(p?0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2． （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求

2S1的最小值及此时点G的坐标． S2

【答案】（1）p?2，准线方程为x??1；（2）最小值为1?3，此时G(2,0)． 2【解析】（1）由题意得

p?1，即p?2， 2所以抛物线的准线方程为x??1．

（2）设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xc,yc)，重心G(xG,yG)．

2令yA?2t,t?0，则xA?t．

t2?1由于直线AB过F，故直线AB方程为x?y?1，

2t2(t2?1)代入y?4x，得y?y?4?0，

t22故2tyB??4，即yB??所以B(2， t12,?)． t2t11又由于xG?(xA?xB?xc),yG?(yA?yB?yc)及重心G在x轴上，

332故2t??yc?0，

t112t4?2t2?22得C((?t),2(?t)),G(,0)． 2tt3t所以直线AC方程为y?2t?2t(x?t)，得Q(t?1,0)． 由于Q在焦点F的右侧，故t2?2．

222t4?2t2?21|?1|?|2t||FG|?|yA|2S122t4?t2t2?23t???4?2?4从而． 422t?2t?22S21|QG|?|y|t?1t?1|t2?1?|?|?2t|c23t2t令m?t2?2，则m?0，

S1m1?2?2?2?3 S2m?4m?3m??4m?2?13?1?2． 32m??4m3时，

S13取得最小值1?，此时G(2,0)． S22当m?【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力．

【母题来源二】【2018年高考浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

y2（2）若P是半椭圆x+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

42

yAPOMx

B【答案】（1）证明见解析；（2）[62,【解析】（1）设P(x0,y0)，A(1510]． 41212y1,y1)，B(y2,y2)． 44因为PA，PB的中点在抛物线上，

12y?x022所以y1，y2为方程y?y02，即y?2y0y?8x0?y0?0的两个不同的实数根． 4()?4?22所以y1?y2?2y0． 因此，PM垂直于y轴．

??y1?y2?2y0,（2）由（1）可知? 2yy?8x?y,?00?12所以|PM|?123222(y1?y2)?x0?y0?3x0，|y1?y2|?22(y0?4x0)． 8431322?|PM|?|y1?y2|?(y0?4x0)2． 24因此，△PAB的面积S△PAB2y022因为x??1(x0?0)，所以y0?4x0??4x0?4x0?4?[4,5]．

420因此，△PAB面积的取值范围是[62,1510]． 42【母题来源三】【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线x?y，点A(?，)，B(，)，抛物线上的

11243924点P(x,y)(?13?x?)．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． 22（1）求直线AP斜率的取值范围； （2）求|PA|?|PQ|的最大值．

【答案】（1）(?1,1)；（2）

27． 1614?x?1， 【解析】（1）设直线AP的斜率为k，k?12x?213因为??x?，

22x2?所以直线AP斜率的取值范围是(?1,1)．

11?kx?y?k??0,??24（2）联立直线AP与BQ的方程?

93?x?ky?k??0,??42?k2?4k?3解得点Q的横坐标是xQ?．

2(k2?1)因为|PA|=1?k(x?)=1?k2(k?1)， |PQ|=1?k(xQ?x)??2212(k?1)(k?1)2k?132，

所以PA?PQ??(k?1)(k?1)．

令f(k)??(k?1)(k?1)，因为f?(k)??(4k?2)(k?1)，

3212127因此当k=时，|PA|?|PQ|取得最大值．

216所以 f(k)在区间(?1,)上单调递增，(,1)上单调递减，

12【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达|PA|与|PQ|的长度，通过函数f(k)??(k?1)(k?1)求解|PA|?|PQ|的最大值．

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