杭州市西湖区2014-2015学年八年级下期末数学试卷含答案解析

（1）将线段OE绕点O逆时针方向旋转90°，点E的对应点为点F，连结EF，AE，BF，请依题意补全图1（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；

（3）如图2，点G是OA中点，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，∠EGF=90°，AB=8，GE=4，△EGF绕G点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH的最大值．

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）根据题意画出图形即可；

（2）延长EA交OF于点H，交BF于点G，利用正方形的性质和旋转的性质证明△EOA≌△FOB，得到AE=BF．根据等边对等角得到∠OEA=∠OFB，由∠OEA+∠OHA=90°，所以∠OFB+∠FHG=90°，进而得到AE⊥BF．

（3）如图3，当B，G，H三点在一条直线上时，BH的值最大，根据正方形的性质得到AG=OG=AO=2

，根据勾股定理得到BG=

=2

，根据等腰直角三角形的性质得到GH=2

，

于是得到结论．

【解答】解：（1）如图1所示：

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（2）如图2，延长EA交OF于点H，交BF于点G，

∵O为正方形ABCD的中心 ∴OA=OB，∠AOB=90°，

∵OE绕点O逆时针旋转90角得到OF， ∴OE=OF

∴∠AOB=∠EOF=90°， ∴∠EOA=∠FOB， 在△EOA和△FOB中，∴△EOA≌△FOB， ∴AE=BF． ∴∠OEA=∠OFB， ∵∠OEA+∠OHA=90°， ∴∠OFB+∠FHG=90°， ∴AE⊥BF；

（3）如图3，当B，G，H三点在一条直线上时，BH的值最大，

，

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∵四边形ABCD是正方形，AB=8， ∴AO=BO=4

，

∵点G是OA中点， ∴AG=OG=AO=2∴BG=

=2，

，

∵△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点， ∴GH=2

，

+2+2

， ．

∴BH=BG+GH=2∴BH的最大值是2

【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是正确画出图形，作出辅助线，利用旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质解决问题．

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