高考数学一轮复习课后限时集训68古典概型与几何概型理北师大版

课后限时集训68

古典概型与几何概型 建议用时：45分钟

一、选择题

1．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )

2A. 32C. 5

3

B． 51D． 5

B [设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，

b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，

(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，

b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．

63

故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.]

105

2．(2019·长沙雅礼中学月考)“上医医国”出自《国语·晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是( )

1A. 31C. 4

1B． 61D． 12

A [幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n＝3，∴该幼童能将这句话排列1

正确的概率P＝.故选A.]

3

3．(2019·江淮十校模拟)《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为( )

1A. 83C. 8

1B． 41D． 2

C [抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，

1

3

反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为.故选

8C.]

4．将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为

( )

A.C.1 121 15

1B． 91D． 18

3

A [一个骰子连续掷3次，落地时向上的点数可能出现的组合数为6＝216种．落地时向上的点数依次成等差数列，当向上点数若不同，则为(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)，共有2×6＝12种情况；当向上点数相同，共有6种情况．故落地时向12＋61上的点数依次成等差数列的概率为＝.]

21612

5.(2019·济南模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形．现从这个大正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )

1

A. 8C.3 16

1B． 43D． 8

3

C [设大正方形的面积为4S，则5号板与7号板的面积之和为S，所以从这个大正方

43S43

形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是＝.]

4S16

二、填空题

6．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

22

[由题意得该圆柱的体积V＝π×1×2＝2π.圆柱内满足点P到点O的距离小于等于3

1423

1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V1＝ × π×1＝π，

233

2

所以所求概率P＝

V－V12

＝.] V3

7．(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．

7

[从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝1010，

选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件个数：

m37

m＝3，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝1－＝1－＝.]

n1010

8．如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．

0．3 [依题意，记题中被污损的数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，解得x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的3

平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝＝0.3.]

10

三、解答题

9．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

[解] (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，

D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．

3

5

所以，事件M发生的概率P(M)＝.

12

10．(2019·成都七中模拟)某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．

(1)求图中m的值；

(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；

(3)在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．

[解] (1)依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：

50×(m＋0.004 0＋0.005 0＋0.006 6＋0.001 6＋0.000 8)＝1，解得m＝0.002 0. (2)设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t. 因为前2组的频率之和为(0.002 0＋0.004 0)×50＝0.3<0.5， 前3组的频率之和为(0.002 0＋0.004 0＋0.005 0)×50＝0.55>0.5， 所以350

由0.3＋0.005 0×(t－350)＝0.5，得t＝390.

所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．

0.001 6(3)由题意，可得在[450,500)内抽取6×＝4人，分别记为a，b，c，

0.001 6＋0.000 8

d，

在[500,550]内抽取2人，记为e，f，

则6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，

d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种等可

能的取法．

其中抽取的2人恰在同一组的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，7

{e，f}，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率P＝.

15

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