七年级数学下学生发散思维训练知识 数学万花筒 砝码与进制

砝码与进制

海尔是彼得堡的一位制售天平的商人，他生产的天平精细而准确。一次，他去拜访欧拉，并向他提出了一个有趣的问题：

要是只允许砝码放在天平的一端，要能称出1——63克任何整数克重的物品，至少要有多少砝码？

欧拉的回答是：“你只要配备1、2、4、8、16、32克的砝码各一枚，包你能完成你所要求的称量。”

海尔一一核验，果真如此。 你能明白其中的道理吗？ 我们可以这样去分析：

1个1克的砝码是不能少的。

有了1个1克的砝码之后，要称出2克和3克的重物，还需要有1个2克的砝码。 有了1个1克和2克的砝码之后，要称出4克——7克的重物，只要再增加1个4克的砝码就行了。

有了1个1克、2克和4克的砝码之后，要称出8克——15克的重物，只要再增加1个8克的砝码就行了。

依次类推，需要的砝码的克数分别是1、2、4、8、16、32。 其实这个问题与数学上的二进制有关系。 把上面的砝码表示成二进制的数分别是：

1=?1?2 2=?10?2 4=?100?2 8=?1000?2 16=?10000?2 32=?100000?2

把上面分别能称出的重物的最大克数分别用二进制表示出来： 1=?1?2 3=?11?2 7=?111?2

?2 15=?111131=?11111?2 63=?111111?2

你能发现砝码称重与二进制的联系了吗？

如果要你称出从1——1023整数克的重物，至少需要多少个砝码？

需要10枚砝码，分别是1、2、4、8、16、32、64、128、256、512克。

如果允许砝码放在天平的两端，要能称出1——80克间任何整数克重的物品，至少要有多少砝码呢？

如果有1克，3克两个砝码，同样可称出1克、2克、3克的重物，还可称出4克的重物吗？

有1克，3克的砝码，只能称出1——4克的重物，要称出5克的重物就要增加砝码了。那么是否就增加5克的砝码呢？增加5克的砝码，就能称出1——9克的重物。能否增加另一个砝码，也能称出5克，同时使得称量的范围更大些呢？

增加的那个砝码应尽量大些，不妨设为x。

小明认为x可以为1+3+5，这样就可以称出5克了（x-1-3），因此x应为9克。

选择1克、3克、9克、27克，这样4个砝码即可称出1——80克间任何整数克重的物品了。