高考数学 大一轮复习 第3章 第7节 正弦定理和余弦定理的应用举例课时提升练 文 新人教版

图3-7-14

【解析】 由条件可知OD＝2×50＝100米，

DC＝3×50＝150米．

且∠ODC＝60°，在△OCD中，

OC2＝OD2＋DC2－2×OD×DC×cos 60°

122

＝100＋150－2×100×150×＝17 500，

2∴OC＝507(米)． 【答案】 507 三、解答题

10.如图3-7-15所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

图3-7-15

【解】 由题意知AB＝5(3＋3)海里，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB中，由正弦定理，得∴DB＝＝

＝，

sin∠DABsin∠ADB

DBABAB·sin∠DAB＝

sin∠ADB＋3

sin 105°

＋3533＋

＝

sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°3＋1

2

＝103(海里)，

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝203(海里)．

在△DBC中，由余弦定理得

CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC

1

＝300＋1200－2×103×203×＝900.

2

30

∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．

30

11．如图3-7-16所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一条直公路以每小时100千米的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500千米且与海岸距离为300千米的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一件稿件交送给这辆汽车的司机．

图3-7-16

(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角．

【解】 (1)设快艇以v千米/小时的速度从B处出发，沿BC方向，t小时后与汽车在C处相遇．

在△ABC中，AB＝500，AC＝100t，BC＝vt，

BD为AC边上的高，BD＝300.

34

设∠BAC＝α，则sin α＝，cos α＝，

55由余弦定理BC＝AC＋AB－2AB·ACcos α， 42222

∴vt＝(100t)＋500－2×500×100t·，

5250 00080 0002

整理得：v＝－＋10 000 2

2

2

2

tt10 000×16?181?4?2?＝250 000?2－·＋???＋10 000－

25?t25t?25??

?14?2

＝250 000?－?＋3 600.

?t25?

14252

当＝，即t＝(小时)时，vmin＝3 600，vmin＝60. t254

即快艇至少以60千米/小时的速度行驶才能把稿件送到司机手中． (2)当v＝60千米/小时时，在△ABC中，

AB＝500，AC＝100×＝625， BC＝60×＝375，

AB2＋BC2－AC2

由余弦定理cos∠ABC＝＝0，

2AB·BC∴∠ABC＝90°，故快艇应以垂直AB的方向向北偏东行驶．

12．郑州市某广场有一块不规则的绿地如图3-7-17所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.

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图3-7-17

(1)求AB的长度；

(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比．不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)．

【解】 (1)在△ABC中，由余弦定理得

AC2＋BC2－AB282＋52－AB2

cos C＝＝，

2AC·BC2×8×5

在△ABD中，由余弦定理得

AD2＋BD2－AB272＋72－AB2

cos D＝＝，

2AD·BD2×7×7

由∠C＝∠D得cos C＝cos D. 解得AB＝7.所以AB的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用较低． 理由如下：

11

易知S△ABD＝AD·BDsin D，S△ABC＝AC·BCsin C，

22因为AD·BD＞AC·BC，且∠C＝∠D， 所以S△ABD＞S△ABC.

故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低． 即小李的设计使建造费用较低．