第一轮复习自己整理绝对经典向量第一轮

平面向量题型总结(2015版)

题型一:定义判断

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么（向量可以平移）。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是?AB)；

|AB|4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)；

AC共线； ④三点A、B、C共线?AB、6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。 向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，

j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a?xi?yj??x,y?，称?x,y?为向量a的坐标，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点a＝?x,y?叫做向量a的坐标表示。坐标相同。

例1.平面向量a,b共线的充要条件是（ ）

??A.a,b方向相 同 B. a,b两向量中至少有一个为零向量 C.存在??R,b??a D存在不全为零的实数?1,?2,?1a??2b?0 例2.下列命题正确的是（ ） A、若a∥b，且b∥c，则a∥c。

B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。 C、向量AB的长度与向量BA的长度相等 。

D、若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线。 例3.给出下面四个命题：

①对于任意向量a、b，都有|a·b|≥a·b成立； ②对于任意向量a、b，若a2=b2，则a=b或a= -b；

③对于任意向量a、b、c，都有a·(b·c)=(b·c)·a成立； ④对于任意向量a、b、c，都有a·(b·c)=(b·a)·c成立. 其中错误的命题共有 . 例4.给出下列命题: ①若a2+b2=0,则a=b=0;

②已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB?(12x1?x2y1?y2,); 22??????????????

③已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|

④已知?1?0,?2?0,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线; 其中正确命题的序号是 .

例5．如果e1、 e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（ ） ①λe1＋μe2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α中的任一向量a,使a=λe1＋μe2的λ, μ有无数多对；

③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ

1

e2)；

④若实数λ, μ使λe1＋μe2=0，则λ=μ=0.

A.①② B．②③ C．③④ D．仅② 真题：

（2014北京东城区统一检测）若a，b是两个非零向量，则|a+b|＝|a-b|是a?b的

条件

（2013年高考广东卷（文））设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四

aa?0a个命题:

①给定向量,总存在向量c,使a?b?c;

b②给定向量b和c,总存在实数?和?,使a??b??c;

③给定单位向量b和正数?,总存在单位向量c和实数?,使a??b??c; ④给定正数?和?,总存在单位向量b和单位向量c,使a??b??c;

上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

（15北京文科）设a，b是非零向量，“a?b?ab”是“a//b”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

????（15年安徽文科）?ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a、b满足AB?2a，

??（写出所有正确结论得序号） AC?2a?b，则下列结论中正确的是 。??????????①a为单位向量；②b为单位向量；③a?b；④b//BC；⑤(4a?b)?BC

（15年陕西理科）对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（ ）

A．|a?b|?|a||b| B．|a?b|?||a|?|b|| C．(a?b)2?|a?b|2 D．(a?b)(a?b)?a?b

22题型二：平面向量基本定理及基底的相关应用

平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a=?1e1＋?2e2 向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

b同向或有0?|a?b|?|a|?|b| （2）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，特别地，当a、 b反向或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；当a、 b不共线?||a|?|b||?|a?b|；当a、?||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|(这些和实数比较类似).

（3）向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线?存在实数?、?使得PA??PB??PC且

????1

例6.如图,ABCD是一个梯形,AB//CD,AB?2CD, M、N分别是DC,AB的中点,已知

AB?a,AD?b,试用

a、b表示DC,BC和MN.

D M C 1

例7.在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB.DC与OA交于E，

3

A N →→→→设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.

例8.已知在△ABC中，BD?2DA,点E为AC的中点，CD与BE交于点F，试用AB与AC表示AF.

例9.在平行四边形ABCD中，M, N分别为DC，BC的中点，已知AM?a,AN?b，试用

?

??B ??a,b表示AB,AD。

例10.在三角形ABC中，点D在边AB上，CD平分角ACB,CB?a，CA?b,a?1,b?2,则CD?( )

21431234A. a?b, B. a?b, C. a?b, D. a?b,

55333355三点共线定理的应用：

例11.在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE与AF交于点H,设

AB?a,BC?b,则AH? A.

24242424a?b, B. a?b, C. ?a?b, D. ?a?b, 55555555例12.在△ABC中，AR?2RB,CP?2PR,若AP?mAB?nAC,则m?n?

A．

2 3B.

7 98C．

9D．1

→＋xOB→

例13.若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2OA→＝0，实数x为( ) ＋BC

－1＋5

A．－1 B．0 C.

2

D.1＋52