高等数学第12章课后习题答案（科学出版社）

程；

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?3的解. 2【分析】 将

1dxdx1dy?，关键是应注意： 转化为比较简单，=

dydydyy?dxdxd2xddxd1dx?()=()? dy2dydydxy?dy =

?y??1y??. ???y?2y?(y?)3然后再代入原方程化简即可.

【详解】 (1) 由反函数的求导公式知

dx1?，于是有 dyy?d2xddxy??d1dx?y??1?()==. ???()?223????dydydxydyyydy(y)代入原微分方程得

y???y?sinx. ( * )

(2) 方程( * )所对应的齐次方程y???y?0的通解为 Y?C1e?C2e. 设方程( * )的特解为

y?Acosx?Bsinx，

*x?x11*，故y??sinx，从而y???y?sinx的通解是 221*x?x y?Y?y?C1e?C2e?sinx.

23由y(0)?0,y?(0)?，得C1?1,C2??1. 故所求初值问题的解为

21x?x y?e?e?sinx.

2代入方程( * )，求得A?0,B??2．（01年、数学四、计算题）

设函数f(x)在(0,??)内连续，f(1)?5/2，且对所有x,t?(0,??)，满足条件

?求f(x)。

xt1f(u)du?t?f(u)du?x?f(u)du

11xt

解 显然上等式两端都是t的可导函数，同时对t求导，得

xf(xt)??f(u)du?xf(t)

1x在上式中取t?1，得

xf(x)??f(u)du?1x5x 2再对x求导，得

xf'(x)?f(x)?f(x)?解此可分离变量方程，得

55，f'(x)? 22xf(x)?将初始条件f(1)?5/2代入得C?5/2，所以

5lnx?C 2f(x)?3．（99年、数学三、计算题）

5(lnx?1) 2?2,x?1，试求在(??,??)内的连续函数?0,x?1y?y(x)，使之在(??,1)和(1,??)内都满足所给方程，且满足条件y(0)?0。 解 当x?1时，有方程y'?2y?2，积分，得

设有微分方程y'?2y??(x)，其中?(x)???2e??2dxdx?C??e2x(?e?2x?C)

1?1????2x代入初始条件y(0)?0得C1?1，所以y(x)?e?1； 当x?1时，有方程y'?2y?0，积分，得

2dxy(x)?Ce??Ce2x

y(x)?e?2dx22因为y(x)在x?1连续，所以有

x?1?limy(x)?y(1)?limf(x) ?x?1即 lim?C2e所以y(x)?(1?e)e?2x?12x2x2x?2?y(1)?lim(e?1)，C?(1?e) 2?x?1。

?e2x?1 因此y(x)???22x?(1?e)e4．（01年、数学三、计算题） 已知fn(x)满足

x?1。 x?1fn'(x)?fn(x)?xn?1ex（n为正整数）

?e且fn(1)?，求函数项级数?fn(x)之和。

nn?1n?1x 解 解微分方程fn'(x)?fn(x)?xe，得

dx?dx1fn(x)?e?(?xn?1exe??C)?xnex?Cex

ne1nx将初始条件fn(1)?代入，得C?0。因此有fn(x)?xe。

nn所以

?n?1??xnexxnxfn(x)???e?

nn?1n?1n?xn 记S(x)??，其收敛域为[?1,1)，当x?(?1,1)时，有

nn?1?1，则S(x)??ln(1?x) S'(x)??xn?1?1?xn?1?(?1)n当x??1时，???ln2，所以

nn?1?当?1?x?1时，

?n?1?xnfn(x)?e??exS(x)??exln(1?x)

n?1nx?2x5．（00年、数学三、计算题） 求微分方程y\?2y'?e?0满足条件y(0)?1,y'(0)?1的解。

解 令y'?u，则y\?u'，原方程可化为u为未知函数的一阶线性非齐次方程

u'?2u?e2x

解之，得

y'?u?e?在上式两边积分，得

2dx?2dx[?e2xe?dx?c1]?xe2x?c1e2x

2x2x1y?1?(1?c2 2xe2c1?4)e将初始条件y(0)?1,y'(0)?1代入，得c1?1,c2?34。因此所求特解为

2x2xy?1?1?32xe4e4

6．（02年、数学三、计算题）

x3x6x9????满足微分方程y\?y'?y?ex； （1）验证函数y(x)?1?3!6!9!?x3n （2）利用（1）的结果求幂级数?的和函数。

(3n)!n?0

（1）证明 因

?x3x6x9x3ny(x)?1???????

3!6!9!(3n)!n?0?x2x5x8x3n?1y'(x)???????

2!5!8!(3n?1)!n?1?xx4x7x3n?2y\(x)???????

1!4!7!(3n?2)!n?1所以

?xx2x3x4x5xny\?y'?y?1??????????ex

1!2!3!4!5!n?0n! （2）解 解特征方程????1?0，得二特征根为?1,2??的通解为

213?i，因此对应齐次方程22?33?yc?e?c1cosx?c2sinx?

22??y?Aex为方程的一特解，A为待定常数。将其代入原方程可得A?1/3 令~?1x2，因此方程的通解为

?33?1xccosx?csinx??e，c1,c2为任意常数。 ?1222?3?2将初始条件y(0)?1,y'(0)?0代入上式中，得c1?,c2?0。

3?x3n 所以幂级数?的和函数为

n?0(3n)!y?e?1x2x3n2?131xx2（???x???） ?ecosx?e，?(3n)!323n?0?