第7讲 几种简单的数学方法

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第7讲 几种简单的数学方法

在本讲里我们准备介绍几种常用的解题方法。 一、倒推法

还原问题的一般特点是已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数量的物品增减变化的结果，要我们按照与原来运算顺序或变化顺序相反的方向，进行相应的逆运算或逆变换，求出原来的数。 还原问题通常用倒推法求解。

例1 已知一个数除以3的商与112的乘积，减去10以后的结果是2006，这个数是多少?

例2 做一道整数加法题时，小强把个位上的6看作9，把十位上的8看作3，结果得出和为123。问正确的答案应该是多少?

例3 某人去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，最后剩125元。他原有存款多少元?

例4 将8个数从左至右排成一行，从第三个数开始，每个数都恰好等于前面两个数之和。如果第七个数和第八个数分别是81、131，那么第一个数是多少?

二、包含与排除

求和问题，我们学习过的多是直接相加就可得出答案。但是，有些时候，求

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和问题却不能直接相加求出答案。

例如，小明和一班小朋友排成一行，从左向右数，小明数12，从右向左数，小明数15，问这一行有多少人?这道题的答案不是12+15=27(人)，为什么呢?因为从左向右数，小明数了一次，从右向左数，小明又数了一次，显然，小明数了二次，12+15=27，把小明多算了一次，应把重复计算的减去，所以正确答案应是12+15—1=26(人)。

又例如，有大、小两个正方形纸片放在桌子上(如右图)， 大正方形边长是3厘米，小正；方形边长为2厘米；问一共覆盖多大的面积?

显然，求一共覆盖多大的面积，不能用3 ×3和2×2直接相加。因为，当3×3+2×2时，事实上，重复部分(阴影部分)的面积(1 ×1)加了2次。所以一共覆盖的面积是：

3 ×3+2 × 2—1 ×1=12(平方厘米)。

像上面这种因有重复包含的情况，在解题时要考虑排除因重复、相互包含而引起多加的数学问题，称包含与排除问题。

重叠问题多见于数字重复使用的填数问题，求重叠事物的数量，求几何图形的重叠部分的面积等等。本讲重点谈谈如何求有重叠事物的数量问题。 例1 四(1)班学生去图书室借书，每人都借了课外书，统计的结果是：借语文书的39人，借数学书的32人，语文、数学两种书都借的有26人，求全班学生有多少人?

例2 如右下图，已知正方形ABCD的边长是6分米，长方形BCEF和长方形AGHD的面积分别是24平方分米和20平方分米，求阴影部分的面积。

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例3 在1—100的自然数中，能被2或能被3整除的数有多少个?

三、抽屉原理

把9只苹果，不论按什么方法放人8个抽屉里，可以肯定，其中至少有一个抽屉里面有两只或两只以上的苹果。道理是简单的，因为每个抽屉如果至多有一只苹果的话，那么8个抽屉最多只有8只苹果。

据同样理由，某小学有400名学生，我们可以断言：其中至少有二个小学生有相同的生日。

这种推理的依据是抽屉原理。

例1 一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，才能使其中至少有2张牌有相同的点数?

例2 从任意3个不等于零的自然数中，一定可以找到两个，使得他们的和是一个偶（双）数。

例3 口袋中放有红、黄、蓝色三种的小球各10只，为了保证能取出3只颜色相同的小球，应从口袋中至少摸出几只小球。

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练习7

1．同学们玩扔沙袋游戏，甲、乙两班共有140只沙袋，如果甲班先给乙班5只，乙班又给甲班8只，这时两班沙袋数相等，两班原来各有沙袋多少只?

2．王苹在做一道加法题时，把个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果和得123，正确的答案应是多少?

3．有一筐苹果，第一次取出全部的一半多2个，第二次取出余下的一半少2个，筐中还剩20个，筐中原有苹果多少个?

4．某年级有学生120人，其中参加体育小组的有85人，参加文艺小组的有78人，两个小组都不参加的有7人，那么同时参加体育、文艺小组的有多少人?

5．班上分发柿子和苹果，要柿子的18人，要苹果的20人，其中两样都要的13人，如果每人分2个，需要柿子和苹果各多少个?

6．某班36人参加一次测验，在测试的两道题中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，问有几个同学两题都答不对?

7．三个小同学一起上学去，试说明必有二个小同学是男生或是女生。

8．黑色、白色的筷子各8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的一双筷子，问至少要取多少根?

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自测题7

1．一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，问：两题都做错的有几人?

2．在1～2006个自然数中，能被3或5整除的数有多少个？

3．某数扩大3倍再加上8得23，如果这个数先加8，然后才扩大3倍，那么结果是多少?

4．有三堆煤，第一堆煤的吨数是第二堆的3倍，第三堆煤的吨数是第二堆的4倍，如果从第三堆里每天取用5吨，那么9天后还剩3吨，求第一堆煤有多少吨?

5．任意给定的5个自然数中，必有3个数，它们的和是3的倍数。

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