(浙江专用)2020版高考数学大二轮复习专题五专题培优“函数与导数、不等式”专题培优课课时跟踪检测

若方程f(x)＝g(x)在区间(－1，＋∞)有三个不同的实根，

??11

则?h?1?＝－?a＋1?＋a>0，

3211?h?a?＝a－?32?a＋1?a＋a<0，

3

2

2

h?－1?＝－－?a＋1?－a<0，

11

32

a 0 解得a>3.

②当－1

x h′(x) h(x) (－1，a) ＋ (a,1) － 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 极大值 若方程f(x)＝g(x)在区间(－1，＋∞)有三个不同的实根， ??11

则?h?a?＝a－?a＋1?a＋a>0，

3211?h?1?＝?3－2?a＋1?＋a<0，

3

2

2

h?－1?＝－－?a＋1?－a<0，

11

32

51

解得－

93

51

又∵－1

93③当a＝1时，h′(x)＝(x－1)≥0.

∴h(x)在(－1，＋∞)上单调递增，不合题意．

④当a≤－1时，h(x)在区间(－1，＋∞)最多两个实根，不合题意．

2

?5??1?综上，a的取值范围为?－，0?∪?0，?∪(3，＋∞). ?9??3?

[C级——创新应用练]

1．(2019·名校预测冲刺卷(五))已知函数f(x)＝x＋bx＋cx＋d，若x＝1是ef(x)的一个极小值点，则y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象可能是( )

3

2

－x

解析：选D 设g(x)＝ef(x)，则g′(x)＝－ef(x)＋ef′(x)＝e[f′(x)－f(x)]，由题意得g′(1)＝0，即f′(1)＝f(1)，且1的左侧附近f′(x)

－x－x－x－xf′(x)>f(x)，故选D.

2．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系可用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)表示为( )

A．y＝??

?10?C．y＝?

?x?B．y＝?D．y＝?

?x＋3?

??10??x＋5?

??10?

?x＋4?

??10?

解析：选B 法一：取特殊值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，故选B.

法二：设x＝10m＋n(0≤n≤9)，当0≤n≤6时，?时，??x＋3?＝?m＋n＋3?＝m＝?x?，当6

???10?10??10?????

?x＋3?＝?m＋n＋3?＝m＋1＝?x?＋1，故选B.

???10?10??10?????

3．对于使f(x)≤M成立的所有常数M，我们把M的最小值称为f(x)的上确界，若a，b12

∈(0，＋∞)且a＋b＝1，则－－的上确界为( )

2ab991

A．－ B. C. D．－4

224解析：选A ∵a＋b＝1，∴－

12a＋b2a＋2b5?b2a?

－＝－－＝－－?＋?，∵a>0，b>0，2ab2ab2?2ab?

b2a125912

∴＋≥2，当且仅当b＝2a时取等号，∴－－≤－－2＝－，∴－－的上确界为2ab2ab222ab9

－，故选A. 2

4．数学上称函数y＝kx＋b(k，b∈R，k≠0)为线性函数．对于非线性可导函数f(x)，在点x0附近一点x的函数值f(x)，可以用如下方法求其近似代替值：f(x)≈f(x0)＋f′(x0)(x－x0)．利用这一方法，m＝4.001的近似代替值( )

A．大于m C．等于m

B．小于m

D．与m的大小关系无法确定

12x，则有x≈x0＋

(x－x0)．令2x0

1?41

解析：选A 依题意，取f(x)＝x，则f′(x)＝

14

??2??x＝4.001，x0＝4，则有4.001≈2＋×0.001，注意到?2＋×0.001?＝4＋0.001＋?×0.001?

?

?

?

2

1

4

>4.001，即m＝4.001的近似代替值大于m，故选A.

5．(2019·名校预测冲刺卷(三))德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何

问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线y＝x＋b是函数f(x)＝ln x的切线，也是函数g(x)＝e

x＋k的切线，则实数b＝________，k＝________.

1

解析：由题意可知(ln x)′＝＝1，故x＝1，则函数f(x)的切点为(1,0)，代入y＝x＋b，

x得b＝－1；又(e＝e

x＋kx＋k)′＝e

x＋k＝1，故x＝－k，则函数g(x)的切点为(－k，－k－1)，代入g(x)

，得k＝－2.

答案：－1 －2

6．(2019·名校预测冲刺卷(三))记[a]表示不超过a的最大整数．已知函数f(x)＝

?1－?1＋b??(b∈R)．若b＝0，则函数f(x)的值域为________；若函数f(x)存在最大值，则

???x?

??x??

b的取值范围是________．

1?1???解析：当b＝0时，f(x)＝?－???，根据[a]的定义易得f(x)∈[0,1)；因为f(x)＝?x?x??

?1－?1＋b??＝?1＋b－?1＋b?－b?，令1＋b－?1＋b?＝t，显然t∈[0,1)，则函数f(x)可化为

????x???x??x?x???????x???xg(t)＝|t－b|，t∈[0,1)，要使g(t)存在最大值，结合函数g(t)的图象特征，只需b≥，故1

2

?1?实数b的取值范围是?，＋∞?. ?2?

?1?答案：[0,1) ?，＋∞? ?2?

7．设函数f(x)＝e－1－x－ax. (1)若a＝0，求f(x)的单调区间；

(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．

x2

解：(1)a＝0时，f(x)＝e－1－x，f′(x)＝e－1. 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.

故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)当x＝0时，f(x)＝0，对任意实数a，均有f(x)≥0； e－x－1

当x>0时，f(x)≥0等价于a≤. 2

xxxxe－x－1xe－2e＋x＋2令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝， 23xxxxx令h(x)＝xe－2e＋x＋2(x>0)， 则h′(x)＝xe－e＋1，h″(x)＝xe>0，

∴h′(x)在(0，＋∞)上为增函数，h′(x)>h′(0)＝0， ∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数，h(x)>h(0)＝0， ∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数． 由洛必达法则知，

e－x－1

x2＝xxxxxxe－12x＝xe112＝2，故a≤2.

x1??综上，a的取值范围为?－∞，?. 2??