山东省临沂市河东区2017届九年级(下)期中数学试卷(解析版)

则a≥3， 解得a≥75．

设实际付款总金额是y元，则 y=0.9[100a+80]，即y=18a+7200． ∵18＞0，y随a的增大而增大， ∴当a=75时，y最小．

即当a=75时，y最小值=18×75+7200=8550（元）．

答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．

25．【问题背景】

如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图2），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=【简单应用】

（1）在图1中，若AC=

，BC=2

，则CD= 3 ．

=

，若AB=13，BC=12，

CD，从而得出结论：AC+BC=

CD

（2）如图3，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，求CD的长． 【拓展规律】

（3）如图4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）

【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）代入结论：AC+BC=

CD，直接计算即可；

（2）如图3，作辅助线，根据直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=∠ACB=90°，

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由弧相等可知所对的弦相等，得到满足图1的条件，所以AC+BC=得CD的长；

（3）介绍两种解法：

解法一：作辅助线，构建如图3所示的图形，由AC+BC=在直角△CDD1，利用勾股定理可得CD的长；

CD，代入可

D1C，得D1C=，

解法二：如图5，根据小吴同学的思路作辅助线，构建全等三角形：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处，得△BCD≌△AED，证明△CDE是等腰直角三角形，所以CE=【解答】解：（1）由题意知：AC+BC=∴

+2

=

CD，

CD，

CD，从而得出结论．

∴CD=3； 故答案为：3；

（2）如图3，连接AC、BD、AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°， ∵

=

，

∴AD=BD， ∵AB=13，BC=12， ∴由勾股定理得：AC=5， 由图1得：AC+BC=5+12=∴CD=

CD，

；

CD，

（3）解法一：以AB为直径作⊙O，连接DO并延长交⊙O于点D1， 连接D1A、D1B、D1C、CD，如图4， 由（2）得：AC+BC=∴D1C=

，

D1C，

∵D1D是⊙O的直径， ∴∠D1CD=90°，

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∵AC=m，BC=n，

∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2， ∴D1D2=AB2=m2+n2， ∵D1C2+DC2=D1D2， ∴CD2=m2+n2﹣=

，

∵m＜n， ∴CD=

；

解法二：如图5，∵∠ACB=∠DB=90°， ∴A、B、C、D在以AB为直径的圆上， ∴∠DAC=∠DBC，

将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处，∴△BCD≌△AED， ∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，

∴∠ADC﹣∠ADC=∠ADE﹣∠ADC， 即∠ADB=∠CDE=90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，

∵AC=m，BC=n=AE， ∴CE=n﹣m， ∴CD=

．

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26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线和直线BC的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式；然后利用待定系数法求直线BC的解析式；

（2）易得△ABE只能是以E点为直角顶点的三角形，利用勾股定理的逆定理可证明ACB=90°，再证明△ACB∽△COB，所以当点E在点C时满足条件；当E为点C在抛物线上的对称点时也满足条件，然后利用对称性写出E点坐标即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），

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