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压轴题9 Microsoft Word 文档

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  • 2025/7/12 7:33:39

如图,已知抛物线y?x2?bx?c与

x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于

点C(0,-3)。

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图(1),已知点H(0,-1).问在抛物线上是否存在点G(点G在y轴的左侧),使得S△GHC=S△GHA?若存在,求出点G的坐标,若不存在,请说明理由;

(3)如图(2),抛物线上点D在x轴上的正投影为点E(-2,0),F是OC的中点,连接DF,P为线段BD上的一点,若∠EPF=∠BDF,求线段PE的长.

解:(1)∵抛物线经过A(1,0)和点C(0,-3),

∴??1?b?c?0?c??3,解得

??b?2?3。 ?c? ∴抛物线的解析式是

y?x2?2x?3。

(2)假设抛物线上存在点G,设G(m,n),显然,当n=-3时,△AGH不存在。 ①当n>-3时,可求得GH与x轴的交

点坐标(mn+1,0), 可得SAGH= 1△2?n?m+1?,S△GHC= -

m。

∴由S△AGH= S△GHC得, m+n+1=0。

∴??n?m2+2m-3?m+n+1?0,

解得 m= -

3+171+2 ,n= 17

2

,或m= -3+172 , n=1-17

2 。 ∵点G在y轴的左侧,∴G(- 3+17

2

,1+17

2 )、 ②当-4≤n<3时,可得

S1△AGH=

2?n?m?1?, S△GHC= - m。 ∴由S△AGH

=

S△GHC得,3m-n

1=0。

∴??n?m2+2m-3??3m-n-1?0,解得

?m=-1?n=-4 或 ??m?2?n?5。 ∵点G在y轴的左侧,∴G(-1,-4)。 ∴存在点G(- 1,-4)。

(3) 如图,E(-2,0), ∴D点的横坐标是-2,点D在抛物线上, ∴D(-2,-3)。

3

∵F是OC中点,∴F(0,- )。

2∴直线DF的解析式为y=

3+171+17

, )或(-22

33x?。 42则它与x轴交于点Q(2,0), 5

则QB=QD=5,BE=1,BD=10 ,DF= 。

2由QB=QD,得∠QBD=∠QDB。 ∵∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°,∠EPF=∠PDF, ∴∠BPE=∠DFP。 可证△PBE∽△FDP,∴

PBBE

= ,得FDDP

5

PB·DP= ,PB+DP=BD=10 。

2∴PB=10 。 2

即P是BD的中点,连接DE , 110

∴在Rt△DBE中,PE= BD= 。

22

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如图,已知抛物线y?x2?bx?c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,-3)。 (1)求抛物线的解析式; (2)如图(1),已知点H(0,-1).问在抛物线上是否存在点G(点G在y轴的左侧),使得S△GHC=S△GHA?若存在,求出点G的坐标,若不存在,请说明理由; (3)如图(2),抛物线上点D在x轴上的正投影为点E(-2,0),F是OC的中点,连接DF,P为线段BD上的一点,若∠EPF=∠BDF,求线段PE的长. 解:(1)∵抛物线经过A(1,0)和点C(0,-3), ∴??1?b?c?0?c??3,解得??b?2?3。 ?c? ∴抛物线的解析式是y?x2?2x?3。 <

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