压轴题9 Microsoft Word 文档

如图，已知抛物线y?x2?bx?c与

x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于

点C（0，－3）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图（1），已知点H（0，－1）.问在抛物线上是否存在点G（点G在y轴的左侧），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（－2，0），F是OC的中点，连接DF，P为线段BD上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段PE的长.

解：（1）∵抛物线经过A（1，0）和点C（0，－3），

∴??1?b?c?0?c??3，解得

??b?2?3。 ?c? ∴抛物线的解析式是

y?x2?2x?3。

(2)假设抛物线上存在点G，设G（m，n）,显然，当n=－3时，△AGH不存在。 ①当n＞－3时，可求得GH与x轴的交

点坐标（mn+1，0）， 可得SAGH= 1△2?n?m+1?，S△GHC= －

m。

∴由S△AGH= S△GHC得， m＋n＋1=0。

∴??n?m2＋2m－3?m＋n＋1?0，

解得 m= -

3+171+2 ,n= 17

2

,或m= -3+172 , n=1-17

2 。 ∵点G在y轴的左侧，∴G（- 3+17

2

，1+17

2 ）、 ②当－4≤n<3时，可得

S1△AGH=

2?n?m?1?, S△GHC= － m。 ∴由S△AGH

=

S△GHC得，3m－n

－

1=0。

∴??n?m2＋2m－3??3m-n-1?0，解得

?m=-1?n=-4 或 ??m?2?n?5。 ∵点G在y轴的左侧，∴G（－1，－4）。 ∴存在点G（- 1，－4）。

(3) 如图，E(－2,0), ∴D点的横坐标是－2，点D在抛物线上， ∴D（－2，－3）。

3

∵F是OC中点，∴F（0，－ ）。

2∴直线DF的解析式为y=

3+171+17

， ）或（－22

33x?。 42则它与x轴交于点Q（2，0）， 5

则QB=QD=5，BE=1，BD=10 ，DF= 。

2由QB=QD，得∠QBD=∠QDB。 ∵∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，∠EPF=∠PDF， ∴∠BPE=∠DFP。 可证△PBE∽△FDP，∴

PBBE

= ，得FDDP

5

PB·DP= ，PB+DP=BD=10 。

2∴PB=10 。 2

即P是BD的中点，连接DE ， 110

∴在Rt△DBE中，PE= BD= 。

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