当前位置:首页 > 压轴题9 Microsoft Word 文档
如图,已知抛物线y?x2?bx?c与
x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于
点C(0,-3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图(1),已知点H(0,-1).问在抛物线上是否存在点G(点G在y轴的左侧),使得S△GHC=S△GHA?若存在,求出点G的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图(2),抛物线上点D在x轴上的正投影为点E(-2,0),F是OC的中点,连接DF,P为线段BD上的一点,若∠EPF=∠BDF,求线段PE的长.
解:(1)∵抛物线经过A(1,0)和点C(0,-3),
∴??1?b?c?0?c??3,解得
??b?2?3。 ?c? ∴抛物线的解析式是
y?x2?2x?3。
(2)假设抛物线上存在点G,设G(m,n),显然,当n=-3时,△AGH不存在。 ①当n>-3时,可求得GH与x轴的交
点坐标(mn+1,0), 可得SAGH= 1△2?n?m+1?,S△GHC= -
m。
∴由S△AGH= S△GHC得, m+n+1=0。
∴??n?m2+2m-3?m+n+1?0,
解得 m= -
3+171+2 ,n= 17
2
,或m= -3+172 , n=1-17
2 。 ∵点G在y轴的左侧,∴G(- 3+17
2
,1+17
2 )、 ②当-4≤n<3时,可得
S1△AGH=
2?n?m?1?, S△GHC= - m。 ∴由S△AGH
=
S△GHC得,3m-n
-
1=0。
∴??n?m2+2m-3??3m-n-1?0,解得
?m=-1?n=-4 或 ??m?2?n?5。 ∵点G在y轴的左侧,∴G(-1,-4)。 ∴存在点G(- 1,-4)。
(3) 如图,E(-2,0), ∴D点的横坐标是-2,点D在抛物线上, ∴D(-2,-3)。
3
∵F是OC中点,∴F(0,- )。
2∴直线DF的解析式为y=
3+171+17
, )或(-22
33x?。 42则它与x轴交于点Q(2,0), 5
则QB=QD=5,BE=1,BD=10 ,DF= 。
2由QB=QD,得∠QBD=∠QDB。 ∵∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°,∠EPF=∠PDF, ∴∠BPE=∠DFP。 可证△PBE∽△FDP,∴
PBBE
= ,得FDDP
5
PB·DP= ,PB+DP=BD=10 。
2∴PB=10 。 2
即P是BD的中点,连接DE , 110
∴在Rt△DBE中,PE= BD= 。
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