2019年江苏省苏州市中考数学一模试卷 解析版

∴解得，x＝

，即，

，

∴PD＝，

∴CD＝PC﹣PD＝8﹣5＝3， ∴BD＝

；

②过点O作OM⊥BE于点M，如图2，

则四边形ODCM为矩形， ∴CM＝OD＝

，

∴BM＝BC﹣CM＝， ∵OB＝OE， ∴BE＝2BM＝， ∵OD∥BE， ∴△ODF∽△EBF，

∴，即，

解得BF＝．

【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，有一定难度，第（1）题关键是过切点连半径，第（2）题的突破口是

构造矩形与相似三角形．

27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+8的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C是x轴正半轴上的一点，以OA，OC为边作矩形AOCD，直线AB交OD于点E，交直线DC于点F． （1）如图2，若四边形AOCD是正方形． ①求证：△AOE≌△COE；

②过点C作CG⊥CE，交直线AB于点G．求证：CG＝FG．

（2）是否存在点C，使得△CEF是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）①由四边形AOCD是正方形知AO＝CO，∠AOD＝∠EOC，据此依据“SAS”可证得△AOE≌△COE；

②∠ECB+∠CBG＝90°，∠CBG＝∠BCG，在Rt△BCF中，∠BCG+∠FCG＝90°，∠CBG+∠CFB＝90°，利用角的代换得到∠GCF＝∠CFG，即可解题； （2）设C（m，0），则可表示出F（m，﹣m+8），D（m，8），E（

，

），

利用勾股定理分别求出EC2＝三种情况进行讨论： ①当EC＝EF时，

＝

，CF2＝，EF2＝

；然后分

；②当CF＝EF时，＝；

③当EC＝EF时，＝；

【解答】解：（1）①∵四边形AOCD是正方形． ∴AO＝CO，∠AOD＝∠EOC，

∴△AOE≌△COE（SAS）； ②∴△AOE≌△COE， ∴∠OAB＝∠ECB，

∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠CBG＝90°， ∴∠ECB+∠CBG＝90°， ∵CG⊥CE， ∴∠CBG＝∠BCG， ∴BG＝CG，

在Rt△BCF中，∠BCG+∠FCG＝90°，∠CBG+∠CFB＝90°， ∴∠GCF＝∠CFG， ∴CG＝GF；

（2）设C（m，0），F（m，﹣m+8），D（m，8）， 直线OD的解析式为y＝x，

两直线y＝x与y＝﹣x+8的交点为E， x＝﹣x+8， ∴x＝∴E（

， ，

），

∴EC2＝，CF2＝，EF2＝

，

当EC＝EF时，＝，

∴m＝；

当CF＝EF时，∴m＝4； 当EC＝EF时，

＝

＝，

，

∴m＝6；

此时C与F重合，不合题意； 综上所述：m＝4或m＝

时△CEF是等腰三角形；

【点评】本题考查一次函数图象与性质；等腰三角形的性质；三角形全等；动点问题；能够熟练用三角形的判定方法证明三角形全等，利用勾股定理结合等腰三角形的性质求点的坐标，计算准确是解题的关键．

28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交CD轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由一次函数的解析式求出A、B两点坐标，再根据A、C两点坐标求出b、c即可确定二次函数解析式；

（2）由平移的性质设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6），代入抛物线的解析式则可求出点D的坐标；

（3）分两种情况讨论：①△COM∽△PFC，②△COM∽△CFP，可求得点P的横坐标．【解答】解：∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点， ∴A（3，0），B（0，﹣3），