2019年江苏省苏州市中考数学一模试卷 解析版

24．（8分）我市某中学为推进书香校园建设，在全校范围开展图书漂流活动，现需要购进一批甲、乙两种规格的漂流书屋放置图书．已知一个甲种规格的漂流书屋的价格比一个乙种规格的漂流书屋的价格高80元；如果购买2个甲种规格的漂流书屋和3个乙种规格的漂流书屋，一共需要花费960元．

（1）求每个甲种规格的漂流书屋和每个乙种规格的漂流书屋的价格分别是多少元？ （2）如果学校计划购进这两种规格的漂流书屋共15个，并且购买这两种规格的漂流书屋的总费用不超过3040元，那么该学校至多能购买多少个甲种规格的漂流书屋？ 【分析】（1）设每个甲种规格的漂流书屋的价格为x元，每个乙种规格的漂流书屋的价格为y元，根据“一个甲种规格的漂流书屋的价格比一个乙种规格的漂流书屋的价格高80元；如果购买2个甲种规格的漂流书屋和3个乙种规格的漂流书屋，一共需要花费960元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设该学校购买m个甲种规格的漂流书屋，则购买（15﹣m）个乙种规格的漂流书屋，根据总价＝单价×数量结合总价不超过3040元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．

【解答】解：（1）设每个甲种规格的漂流书屋的价格为x元，每个乙种规格的漂流书屋的价格为y元， 依题意，得：解得：

．

，

答：每个甲种规格的漂流书屋的价格为240元，每个乙种规格的漂流书屋的价格为160元．

（2）设该学校购买m个甲种规格的漂流书屋，则购买（15﹣m）个乙种规格的漂流书屋，依题意，得：240m+160（15﹣m）≤3040， 解得：m≤8．

答：该学校至多能购买8个甲种规格的漂流书屋．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

25．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝

的图象经过点B，交AC于点E．已知菱形的边长为，AC＝4． （1）若OA＝4，求k的值；

（2）连接OD，若AE＝AB，求OD的长．

【分析】（1）利用菱形的性质得出AH的长，再利用勾股定理得出BH的长，得出B点坐标即可得出答案；

（2）首先表示出B，E两点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出D点坐标，再利用勾股定理得出DO的长．

【解答】解：（1）连接BD交AC于点H， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝4， ∴BD⊥AC，AH＝2， ∵对角线AC⊥x轴， ∴BD∥x轴，

∴B、D的纵坐标均为2，

在Rt△ABH中，AH＝2，AB＝， ∴BH＝， ∵OA＝4， ∴B点的坐标为：（

，2），

的图象上，

∵点B在反比例函数y＝∴k＝11；

（2）设A点的坐标为（m，0）， ∵AE＝AB＝，CE＝，

∴B，E两点的坐标分别为：（m+，2），（m，）．

∵点B，E都在反比例函数y＝∴（m+）×2＝m， ∴m＝6，

作DF⊥x轴，垂足为F， ∴OF＝，DF＝2， D点的坐标为（，2）， 在Rt△OFD中， OD2＝OF2+DF2， ∴OD＝

．

的图象上，

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出D点坐标是解题关键．

26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过点P作⊙O的切线，切点为D，BC垂直于PD，垂足为C，BC与⊙O相交于点E，连接OE，交BD于点F． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若BC＝6，tanP＝， ①求线段BD的长； ②求线段BF的长．

【分析】（1）连接OD，证明OD∥BC，再由OB＝OD证明∠OBD＝∠ODB，进而得结论；

（2）①解Rt△PBC得PC与PB，设⊙O的半径为x，由相似三角形列出x的方程求得x，进而求得CD，便可用勾股定理求得BD；

②过点O作OM⊥BE于点M，得四边形ODCM为矩形，得到BM的长度，再得BE，由△ODF∽△EBF便可求得结果．

【解答】解：（1）证明：连接OD，如图1，

∵PD是⊙O的切线， ∴OD⊥PC， ∵BC⊥PC， ∴OD∥BC， ∴∠ODB＝∠CBD， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠CBD＝∠OBD， 即BD平分∠ABC；

（2）①∵∠PCB＝90°，BC＝6，tanP＝， ∴PC＝∴PB＝

，

，

设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝OD＝x，PB＝10﹣x， ∵OD∥BC， ∴△POD∽△PBC，