概率论与数理统计及其应用课后答案（浙江大学 - 盛骤版）

概率论与数理统计及其应用习题解答

14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。 解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件根据全概率公式有

A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。

P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?10%?85%?90%?4%?12.1%，

所以，根据条件概率得到所要求的概率为

P(B|A)?P(BA)P(B)P(A|B)10%(1?85%)???17.06%

P(A)1?P(A)1?12.1%即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.

15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？

解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件N1,N2,N3。则根据全概率公式有

P(M)??P(Ni)P(M|Ni)?0.6?0.01?0.3?0.05?0.1?0.04?0.025，

i?13根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为

P(N1|M)?P(N1)P(M|N1)0.6?0.01??0.24，

P(M)0.025P(N2)P(M|N2)0.3?0.05??0.60，

P(M)0.025P(N3)P(M|N3)0.1?0.04??0.16。

P(M)0.025P(N2|M)?P(N3|M)?

16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。

解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件所要求的概率为

A，“一讯息是可信的”记为事件B。根据Bayes公式，

P(B|A)?

P(AB)P(B)P(A|B)95%?1???99.9947%P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)95%?1?5%?0.1，将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H”，“第二次得H”，“两次得同一面”。试验证A和B，B和C，C和A分别相互独立（两两独立），但A,B,C不是相互独立。

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概率论与数理统计及其应用习题解答

解：根据题意，求出以下概率为

P(A)?P(B)?111111， P(C)?????； 222222111111111P(AB)???， P(BC)?P(CA)???，P(ABC)???。

224224224所以有

P(AB)?P(A)P(B)，P(AC)?P(A)P(C)，P(BC)?P(B)P(C)。

即表明A和B，B和C，C和A两两独立。但是

P(ABC)?P(A)P(B)P(C)

所以A,B,C不是相互独立。

18，设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。

解：设“A,B,C进球”分别记为事件Ni(i（1）设恰有一人进球的概率为

?1,2,3)。

p1，则

p1?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}

（2）设恰有二人进球的概率为

?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3) （由独立性）

?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.4?0.5?0.3?0.6

?0.29

p2，则

p2?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}

?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3) （由独立性）

?0.5?0.7?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.3?0.6 ?0.44

（3）设至少有一人进球的概率为

p3，则

p3?1?P{N1N2N3}?1?P(N1)P(N2)P(N3)?1?0.5?0.3?0.4?0.94。

19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。

解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为

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概率论与数理统计及其应用习题解答

最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为 第一次就检验出该型血的概率为0.4；

第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24； 第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144； 第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864； 所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704

20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为解：设“元件i能够正常工作”记为事件那么系统的可靠性为

p，试求系统的可靠性。

1 3 4 第20题 2 5 Ai(i?1,2,3,4,5)。

P{(A1A2)?(A3)?(A4A5)}?P(A1A2)?P(A3)?P(A4A5)

?P(A1A2A3)?P(A1A2A4A5)?P(A3A4A5)?P(A1A2A3A4A5)

?P(A1)P(A2)?P(A3)?P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)

?P(A3)P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

?p2?p?p2?p3?p4?p3?p5 ?p?2p2?2p3?p4?p5

21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式） 解：设“一产品真含有杂质”记为事件

A，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1

次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为P(A|B)，根据Bayes公式可得

P(A|B)?P(A)P(B|A)

P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)C，根据题意有

又设“产品被检出含有杂质”记为事件

P(A)?0.4，而且P(C|A)?0.8，

P(C|A)?0.9，所以

22P(B|A)?C3?0.82?(1?0.8)?0.384；P(B|A)?C3?(1?0.9)2?0.9?0.027

故，

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概率论与数理统计及其应用习题解答

P(A|B)?

P(A)P(B|A)0.4?0.3840.1536???0.9046P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.4?0.384?0.6?0.0270.1698（第1章习题解答完毕）

第2章

随机变量及其分布

1，设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。

解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前k此有

?1个人都不是A型血，因

P{Y?k}?0.4?(1?0.4)k?1?0.4?0.6k?1， （k?1,2,3,?）

上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。

2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X只能取值0，1，2。设以

Ai(i?1,2,3)记第i个阀门没有打开这一事件。则

P{X?0}?P{A1(A2?A3)}?P{(A1A2)?(A1A3)}

?P{A1A2}?P{A1A3}?P{A1A2A3}?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?(1?0.8)2?(1?0.8)2?(1?0.8)3?0.072，

类似有P{X?2}?P{A1(A2A3)}?P(A1A2A3)?0.83?0.512，

P{X?1}?1?P{X?0}?P{X?2}?0.416,综上所述，可得分布律为

X 0 0.072 1 0.512 2 0.416 1 P{X?k}

A 2 3 B 3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。

并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。

解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为

kP(X?k)?C15?0.2k?0.815?k,k?0,1,2,?15。

（1）P(X3?3)?C15?0.23?0.812?0.2501,

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