2021版高考数学一轮复习选修4 - 5不等式选讲第2讲不等式的证明教案文新人教A版

第2讲 不等式的证明

一、知识梳理 1．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b为正数，则

2

2

a＋b2

≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

3

≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

定理3：如果a，b，c为正数，则

a＋b＋c3

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则

a1＋a2＋…＋ann≥ a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

n2．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 常用结论

基本不等式及其推广

1．a≥0(a∈R)．

2

?a＋b?≥ab，a2＋b2≥1(a＋b)2. 2．(a－b)≥0(a，b∈R)，其变形有a＋b≥2ab，??2?2?

2

2

2

2

3．若a，b为正实数，则

2

2

2

a＋b2

≥ab.特别地，＋≥2.

baab4．a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 二、教材衍化 求证：3＋7<2＋6. 证明：3＋7<2＋6

?(3＋7)<(2＋6) ?10＋221<10＋46

?21<26?21<24.故原不等式成立．

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )

(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )

(3)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏

常见误区不等式放缩不当致错.

已知三个互不相等的正数a，b，c满足abc＝1.试证明：

22

a＋b＋c<＋＋.

abc证明：因为a，b，c>0，且互不相等，abc＝1，所以a＋b＋c＝111111＋＋＋

bcacab111111<＋＋＝＋＋，即a＋b＋c<＋＋. 222abcabc

用综合法、分析法证明不等式(师生共研)

(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明： 111222

(1)＋＋≤a＋b＋c；

1

111

bc＋

1

ac＋

1

ababc3

(2)(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥24.

证明：(1)因为a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac，又abc＝1，故有a＋b＋c≥

2

2

2

2

2

2

2

2

2

33

ab＋bc＋ca111

ab＋bc＋ca＝＝＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．

abcabc111222

所以＋＋≤a＋b＋c.

abc(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有

3333333

(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3（a＋b）（b＋c）（a＋c） ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)

＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立． 所以(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥24.

用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．

3

3

3

a3b3

1．若a，b∈R，ab>0，a＋b＝1.求证：＋≥1.

ba2

2

a3b3a4＋b4（a2＋b2）2－2a2b21证明：＋＝＝＝－2ab.

baababab因为a＋b＝1≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立， 1

所以0

2

11

令h(t)＝－2t，0

t2

11

则h(t)在(0，]上递减，所以h(t)≥h()＝1.

2211

所以当0

2ab2

2

a3b3

所以＋≥1.

ba2．(一题多解)(2020·宿州市质量检测)已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|<4的解集为M. (1)求集合M；

(2)设实数a∈M，b?M，证明：|ab|＋1≤|a|＋|b|.

11

解：(1)当x<－时，不等式化为－2x－1＋1－2x<4，即x>－1，所以－1

2211

当－≤x≤时，不等式化为2x＋1－2x＋1<4，

22即2<4，

11所以－≤x≤；

22

1

当x>时，不等式化为2x＋1＋2x－1<4，即x<1，

21

所以

2

综上可知，M＝{x|－1

(2)法一：因为a∈M，b?M，所以|a|<1，|b|≥1. 而|ab|＋1－(|a|＋|b|) ＝|ab|＋1－|a|－|b| ＝(|a|－1)(|b|－1)≤0， 所以|ab|＋1≤|a|＋|b|. 法二：要证|ab|＋1≤|a|＋|b|， 只需证|a||b|＋1－|a|－|b|≤0， 只需证(|a|－1)(|b|－1)≤0， 因为a∈M，b?M，所以|a|<1，|b|≥1， 所以(|a|－1)(|b|－1)≤0成立． 所以|ab|＋1≤|a|＋|b|成立．

放缩法证明不等式(师生共研)

|a＋b||a||b|

若a，b∈R，求证：≤＋.

1＋|a＋b|1＋|a|1＋|b|【证明】 当|a＋b|＝0时，不等式显然成立． 当|a＋b|≠0时， 由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|?

11

≥， |a＋b||a|＋|b|

|a＋b|11所以＝≤

1＋|a＋b|11

＋11＋|a＋b||a|＋|b|＝＋

|a|＋|b||a||b||a|＝＋≤

1＋|a|＋|b|1＋|a|＋|b|1＋|a|＋|b|1＋|a||b|

. 1＋|b|

在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有：