2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(28)等差数列

课时作业(二十八) [第28讲 等差数列]

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身

1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为________．

2．已知等差数列{an}中， a1＝－4，a9＝8，则该数列前9项和S9等于________． 3．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}的前9项和S9等于________．

4．已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．

能力提升

5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差为________． 6．等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a6＋a7＝________. 7．[2011·辽宁卷] Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________. 8．[2011·重庆三诊] 已知等差数列{an}满足a3＋a13－a8＝2，则{an}的前15项和S15＝________.

?1?

9．[2011·郑州三模] 数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列?a＋1?是等差数列，则a11等

?n?

于________．

10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．

x

11．已知函数f(x)＝2，等差数列{an}的公差为2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝________.

a512．已知数列{an}为等差数列，若<－1，则数列{|an|}的最小项是第________项．

a6

13．(8分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.

14．(8分)在数列{an}中，a1＝4，且对任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线y＝x－2上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)已知b1＋b2＋…＋bn＝an，试比较an与bn的大小．

15．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)． (1)求q的值；

(2)若a1与a5的等差中项为18，bn满足an＝2log2bn，求数列{bn}的前n项和．

16．(12分)[2010·安徽卷] 数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0.

111

求证：{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N，都有＋＋…＋＝a1a2a2a3anan＋1

n

. a1an＋1

课时作业(二十八)

【基础热身】

1．5 [解析] 由等差数列的性质得a1＋a9＝2a5＝10，所以a5＝5.

9?a1＋a9?

2．18 [解析] 在等差数列{an}中，∵a1＝－4，a9＝8，∴数列前9项和S9＝＝

218.

3．99 [解析] ∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27， ∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9，

999

∴S9＝(a1＋a9)＝(a4＋a6)＝(13＋9)＝99.

222

4．5或6 [解析] ∵由已知得{an}中，a3＝－a9，即a1＝－5d，

n?n－1?n?n－1?

∴Sn＝na1＋d＝－5dn＋d.

22

11d121n－?2－d. ＝?2?2?8*

∵n∈N，

∴n＝5或6时，Sn取最大值． 【能力提升】

5．3 [解析] S2＝2a1＋d＝4，S4＝4a1＋6d＝20，解得d＝3.

6．28 [解析] 因为2a4＝a3＋a5，所以3a4＝12，即a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a6＋a7＝7a4＝28.

6×5

7．－1 [解析] 由S2＝S6，得2a1＋d＝6a1＋d，解得4(a1＋3d)＋2d＝0，即2a4＋d

2

＝0，所以a4＋(a4＋d)＝0，即a5＝－a4＝－1.

15?a1＋a15?

8．30 [解析] 由a3＋a13－a8＝2得2a8－a8＝2，所以a8＝2，所以S15＝＝

2

15a8＝30.

?1?11111

9. [解析] 设?a＋1?的公差为d，则有＝＋4d，解得d＝，所以＝224a7＋1a3＋1a11＋1?n?11111＋8d，即＝＋，解得a11＝.

2a3＋1a11＋12＋13

???a9≤0，?－24＋8d≤0，8???10.?3，3? [解析] 由条件知∴?

?a10>0，?－24＋9d>0，??

8

∴

11．－6 [解析] 依题意a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝2－5×2＝

－

－8，∴f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)＝2a1＋a2＋…＋a10＝26?log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝－6.

a5

12．6 [解析] 由<－1得，若a6>0，则a5<－a6<0，此时等差数列{an}为递增数列，

a6

|a5|>|a6|，此时{|an|}中第6项最小；若a6<0，则a5>－a6>0，此时等差数列{an}为递减数列，|a5|>|a6|，仍然有{|an|}中第6项最小．故{|an|}中的最小项是第6项．

13．[解答] 设{an}的公差为d， ???a1＋2d??a1＋6d?＝－16，则? ?a1＋3d＋a1＋5d＝0，?

22

??a1＋8da1＋12d＝－16，整理得?

?a1＝－4d，?

???a1＝－8，?a1＝8，?解得 或? ?d＝2?d＝－2，??

因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)(n∈N*)．

14．[解答] (1)因为点(an，an－1)在直线y＝x－2上，

所以an＝an－1＋2，即数列{an}是以a1＝2为首项，以d＝2为公差的等差数列． 所以an＝2＋2(n－1)＝2n， 所以an＝4n2.

(2)方法一：因为b1＋b2＋…＋bn＝an，所以当n≥2时，bn＝an－an－1＝4n2－4(n－1)2＝8n－4，

当n＝1时，b1＝a1＝4，满足上式．所以bn＝8n－4， 所以an－bn＝4n2－(8n－4)＝4(n－1)2≥0，所以an≥bn. 方法二：由b1＋b2＋…＋bn＝an得，an－bn＝an－1＝ 4(n－1)2≥0，所以an≥bn.

??S1，n＝1，

15．[思路] (1)已知Sn可求an＝?

??Sn－Sn－1，n≥2，

然后利用{an}为等差数列求得；(2)先求得bn，从而判断出数列{bn}为等比数列，再求其前n项和．

[解答] (1)当n＝1时，a1＝S1＝p－2＋q， 当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝pn2－2n＋q－p(n－1)2＋2(n－1)－q＝2pn－p－2. ∵{an}是等差数列， ∴p－2＋q＝2p－p－2， ∴q＝0.

a1＋a5

(2)∵a3＝，∴a3＝18.

2

又a3＝6p－p－2， ∴6p－p－2＝18， ∴p＝4， ∴an＝8n－6.

－

又∵an＝2log2bn，得bn＝24n3，

＋－

bn＋124?n1?3

∴b1＝2，＝4n－3＝24＝16，即{bn}是等比数列．

bn2

2?1－16n?2

所以数列{bn}的前n项和Tn＝＝(16n－1)．

151－16

[点评] (1)若Sn＝an2＋bn＋c是等差数列的前n项和，则必有c＝0；(2)若{bn}为等比数列，则{logabn}是等差数列．

16．[解答] 先证必要性．

因为{an}为等差数列，不妨设公差为d，若d＝0，结论显然成立．当d≠0时， 111＋＋…＋ a1a2a2a3anan＋1

11??111??11?－＋－＋…＋?a－＝??d??a1a2??a2a3??nan＋1?? 111n

＝?a－a?＝. d?1n＋1?a1an＋1再证充分性．

111n由＋＋…＋＝①， a1a2a2a3anan＋1a1an＋1

n＋11111

有＋＋…＋＋＝②， a1a2a2a3anan＋1an＋1an＋2a1an＋2

n＋11n

②－①得＝－，

an＋1an＋2a1an＋2a1an＋1

所以(n＋1)an＋1－nan＋2＝a1.

同理得nan－(n－1)an＋1＝a1，因此an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}为等差数列．