必修二直线与方程、直线与圆习题

直线方程与圆的标准方程

一、直线与方程 （1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k?tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

?当??0?,90?时，k?0； 当??90?,180?时，k?0； 当??90时，k不存在。

????②过两点的直线的斜率公式：k?y2?y1(x1?x2)

x2?x1注意下面四点：(1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程 ①点斜式：y?y1?k(x?x1)直线斜率k，且过点?x1,y1? 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 ②斜截式：y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：④截矩式：

y?y1x?x1?（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2?

y2?y1x2?x1xy??1 ab其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式：Ax?By?C?0（A，B不全为0）

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 注意：○

平行于x轴的直线：y?b（b为常数）； 平行于y轴的直线：x?a（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系

平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

A0x?B0y?C?0（C为常数）

（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k的直线系：（ⅱ）过两条直线l1:为

y?y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?；

A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程

，其中直线l2不在直线系中。 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数）（6）两直线平行与垂直

当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时，

l1//l2?k1?k2,b1?b2；l1?l2?k1k2??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点

l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交

1

A1x?B1y?C1?0交点坐标即方程组?的一组解。 ??A2x?B2y?C2?0方程组无解?l1//l2 ； 方程组有无数解?l1与l2重合 （8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点， Bx2,y2）则|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2

（9）点到直线距离公式：一点P?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?C

A2?B2（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的

半径。

2、圆的方程

（1）标准方程?x?a???y?b??r2，圆心

22?a,b?，半径为r；

?22?（2）一般方程x?y?Dx?Ey?F?0

DE?，半径为r?1D2?E2?4F 当D?E?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为???,??22222当D?E?4F?0时，表示一个点； 当D?E?4F?0时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为

d?Aa?Bb?C，则有dA2?B22222?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交

22（2）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a???y?b??r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为?，则有

??0?l与C相离；??0?l与C相切；??0?l与C相交

2注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0?yy0?r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标，r表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程：

2①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0?yy0?r (课本命题)． ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆C1:?x?a1?2??y?b1?2?r2，C2:?x?a2?2??y?b2?2?R2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当d?R?r时两圆外离，此时有公切线四条；

当d?R?r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当R?r?d?R?r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当d?R?r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当d?R?r时，两圆内含； 当d?0时，为同心圆。

?? 2

直线与方程、直线与圆复习题

一、选择题.

1.已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为( ) A.3 B.-2 C.2 D.不存在 2.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( ) A.x-2y+7=0 B.2x+y-1=0 C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0 3.在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )

4．已知△ABC的三个顶点是A(0,0),B(6,0),C(3,33),则△ABC的形状为( ). A.直角三角形 B.等边三角形

C.钝角三角形 D.底角为30度的等腰三角形 5.直线xcos??ysin??a?0与xsin??ycos??b?0的位置关系是（A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与a,b,?的值有关 6.若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（

12，ｍ）三点共线，则ｍ为（ ）Ａ.

12 Ｂ.?12 Ｃ.－２ Ｄ.２

7.过点P(6,-2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是( )

A.2x+3y-6=0 B.2x+3y-6=0或3x+4y-12=0 C.x-y+3=0 D.x+2y-2=0或2x+3y-6=0

8.直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有直线恒过定点 . A.(1,3) B.(3,1) C.(0,3) D(3,0)

9.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是( ) A.(3,-1) B.(-1,3) C.(-3,-1) D.(3,1)

10.过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是( ) A.4x+3y-13=0 B.4x-3y-19=0 C.3x-4y-16=0 D.3x+4y-8=0

11.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( ) A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心

3

）

12．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )

A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0

13．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是( )

A．x＋6y－10＝0 B.6x－2y＋10＝0 C．x－6y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝0 14．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( ) A．相离 B．相交 C．外切 D．内切

15.与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是( )

A．4 B．3 C．2 D．1

16．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是( )

A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1) C．(3，－3，－1) D．(3,3,1)

二、填空题

17.两直线2x+3y-k=0与x-ky+10=0的交点在x轴上,则k= . 18.两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离是 . 19.点A(2,-1)与点B(3,2)的距离d= .

20.点P(x,y)满足(x?1)2?(y?2)2+(x?3)2?(y?4)2=(3?1)2?(4?2)2, 那么点P的轨迹形状为 .

21.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离等于1,则实数m= .

22．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为 23.圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是 24.直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于

三、解答题

25.(12分)已知三角形ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3). (1)求AB边所在的直线方程;(2)求AB边的高所在的直线方程.

26.(10分)求与两坐标轴正向围成三角形的面积为2,且两截距之差为3的直线的方程.

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