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又∵△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝∠DAC＝∠DCA＝60°， ∴∠AOE＝∠ADC， ∵∠AOE+∠AOC＝180°， ∴∠ADC+∠AOC＝180°， ∴A，D，C，O四点共圆，

∴∠AOD＝∠ACD＝60°，∠COD＝∠CAD＝60°， ∴∠AOD＝∠COD， ∴OD平分∠AOC．

（2）证明：如图2中，取AE的中点M，连接CM．

∵AE＝2CF，AM＝ME， ∴AM＝CF，

∵∠CAM＝∠ACF＝60°，AC＝CA， ∴△ACM≌△CAF（SAS）， ∴∠ACM＝∠CAF，

∵∠CME＝∠CAM+∠ACM＝60°+∠ACM，∠CFP＝∠ACF+∠CAF＝60°+∠CAF， ∴∠CME＝∠CFP， ∵EM＝CF，∠PCF＝∠CEM， ∴△CME≌△PFC（ASA），

∴CE＝PC．

20．解：（1）结论：AD＝2PD． 理由：如图1中，

∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵∠EDC＝120°，

∴∠EDB＝180°﹣120°＝60°， ∴∠B＝∠EDB＝∠BED＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∵BP＝PE， ∴DP⊥AB， ∴∠APD＝90°， ∵DE＝DC，DE＝DB， ∴BD＝CD，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠PAD＝∠BAC＝30°， ∴AD＝2PD．

（2）结论成立．

理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．

∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°， ∴△DCM是等边三角形，

∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°， ∴∠BCM＝∠ACD， ∴△BCM≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BM， ∵PB＝PE，PD＝PN，

∴四边形BNED是平行四边形， ∴BN∥DE，BN＝DE， ∵DE＝DM， ∴BN＝DM，BN∥DM，

∴四边形BNDM是平行四边形， ∴BM＝DN＝2PD， ∴AD＝2PD．

（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．

∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK， ∴∠BDP＝∠CDK， ∴△PDB≌△KDC（SAS）， ∴PB＝CK，

∵PB+PC＝PC+CK＝定值，

∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，

此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠BPC＝∠DPB+∠DPK＝60°． 故答案为60°．