关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论

1sin??S?F1PF2?mn?sin???b2?b2cot?c?|yp|，

2?cos??12cb2??∴yp???cot?xp??1c2?b2tan2 c2c2x2y29．（1）P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1、F2为左、右焦点，A为椭圆内一定点，则

ab2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

证明：若A、F2、P不共线，

|PA|?|AF2|?|PF2| 在△APF2中|PA|?|AF2|?|PF2|　　　∴|PF2|?|AF2|?|PA|?|PF2|?|AF2|，2a?|AF2|?|PA|?|PF2|?2a?|AF2|

当A、P、F2共线时取等号.

x2y2（2）P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为左、右焦点，A为双曲线内一定点，则

ab|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立. 证明：若A、P、F2不共线，

在?APF2中|AF2|?|PA|?|PF2|?|AF2|?|PA|?|PF1|?|PF2|?|PF1|?2a ∴|AF2|?2a?|PA|?|PF1|

当且仅当P和A、F2在y同侧且共线时，|AF2|?|PA|?|PF2|， 此时|AF2|?2a?|PA|?|PF1|