关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论

椭圆、双曲线的对偶性质

1．（1）设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直

线切于A2（或A1）.

证明：设旁切圆切x轴于A'，切PF2于M，F1P于N，

则|PN|?|PM| |MF2|?|MA'| |F1N|?|F1A'| ∴|PF1|?|PM|?|F1F2|?|MF2|

|PF1|?|PF2|?|F2A'|?|F1F2|?|F2A'|?2a?2c?2|F2A'|?|F2A'|?a?c?|F2A2|

∴A'与A2重合.

（2）设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则△PF1F2的内切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）. 证明：设A1A2切X轴于点A'，与PF1切于M，PF2切于N

∵|PF1|?|PF2|?2a?|PM|?|MF1|?|PN|?|NF2|?2a

∵|PM|=|PN|,|MF1|,|NF2|=|A'F2| ∴|F1A'|?|A'F2|?2a 又|F1A'|?|A'F2|?2c

∴|A'F2|?c?a?|A2F2|，∴A'与A2重合.

注：可知，圆心在直线x?a或直线x??a上.

x2y22．（1）椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时，

abx2y2A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.

ab证明：设交点S(x0,y0)，P1(m,n)，P2(m,?n)

∵KPA?KAS KPA?KPS，

111222y0?n??m?ax?a2y0y0y0n?nn2?0∴? ?????2?222ym?am?ax?ax?aa?mx?a?n0000????m?ax0?am2n2n2m2n2b2 又2?2?1?2?1?2?2?

abbaa?m2a2222y0b2x0y0x2y2 ∴22?2?2?2?1，即轨迹方程为2?2?1

x0?aaababx2y2（2）双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于

abx2y2P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.

ab证明：设交点S(x0,y0),P1(m,n),P2(m,?n)

∵KPA?KAS KPA?KPS，

111222y0?n?m?a?x?a2y0y0y0n?nn2?0∴? ?????2?222ym?am?ax?ax?aa?mx?a?n0000????m?ax0?am2n2n2m2n2b2又2?2?1?2?2?1?2??2， abbaa?m2a222y0x0y0b2x2y2?????1∴22 即2?2?1 x0?aa2a2b2abxxyyx2y23．（1）若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababx0b22x2y?y'证明：求导可得：2?2?0 ∴y'?，

y0a2abx0b22222(x?x0) y0ya2?y0∴切线方程：y?y0??a??xx0b2?x0b 2y0a2222y0ya2?xx0b2?x0b?y0a?a2b2 ∴

xx0yy0?2?1 a2bxxyyx2y2（2）若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是02?02?1.

ababx0b2x0b2xxyy2x2y?y?(x?x0)?02?02?1 证明：求导可得：2?2?0?y'?，切线方程y?y0?22aby0ay0aabx2y24．（1）若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过P0作椭圆的两条切线，切点为P1、P2，则切点弦P1P2的

abxxyy直线方程是02?02?1.

abx1xy1yx2xy2y证明：设P??1,l:?2?1 1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则过点P1、P2切线分别为l1:2a2b2a2b∵P0在l1、l2上 ∴∴过P1，P2方程

x1x0y1y0xxyy?2?1，220?220?1 2ababx0xyy0?2?1 a2bx2y2（2）若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，

abxxyy则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

abx1xy1yx2xy2y(x,y),P(x,y)PP证明：设P，则过切线分别为，l:??1l:?2?1 1112221212a2b2a2b∵P0在l1、l2上 ∴∴过P1P2方程

x1x0y1y0x2x0y2y0，??1?2?1

a2b2a2bx0xy0y?2?1 a2bb2x2y25．（1）AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM?kAB??2.

aabx?xy?y证明：设A(xA,yA),B(xB,yB) 则M(AB,AB)

22KOM?KAByA?yByA?yByA2?yB2???2?① xA?xBxA?xBxA?xB2xA2yA2xB2yB2xA2?xB2yA2?yB2b2又2?2?1?2?2? ∴kOM?kAB??2 ??22abababax2y2（2）AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则

abb2kOM?kAB?2.

ax?xy?y证明：设A(xA,yA),B(xB,yB)，则M(AB?AB)，

22KOMKAB22yA?yByA?yByA?yB???2 2xA?xBxA?xBxA?xB22222222xA?xbxAyAxByByA?yBb2又2?2?2?2?，∴KOMKAB?2 ?ababa2b2ax0xy0yx02y02x2y26．（1）若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被P0所平分的中点弦的方程是2?2?2?2.

ababab证明：设中点弦交椭圆一个定点为A(m,n)，则另一个为B(2x0?m,2y0?n)

(2x0?m)2(2y0?n)2m2n2∴??1① ， 2?2?1②

a2b2ab22x0?x0my0?y0n①－②得： ??a2b22y0?2ny0?nb2x0???又kAB?

2x0?2mx0?my0a222b2x0yy0xx0y0x0(x?x0)?2?2?2?2 ∴弦AB方程为y?y0??y0a2baba证明二：由第9题得：kAB?kOP0b2x0b2b2y0??2?kAB??2???2， aax0ay022b2x0yy0xx0y0x0(x?x0)?2?2?2?2 ∴弦AB方程为y?y0??y0a2babax2y2（2）若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被P0所平分的中点弦的方程是

abx0xy0yx02y02?2?2?2. a2bab证明：设中点弦交双曲线一个交点A(m,n)，则另一个B(2x0?m,2y0?n)

22(2x0?m)2(2y0?n)2x0?x0ny0?y0nm2n2∴ ??1??1??a2b2a2b2a2b22又K弦?2y0?2n?bx0， 22x0?2my0a22b2x0x0xy0yx0y0(x?x0)?2?2?2?2 ∴方程为y?y0?y0a2ababx2y27．（1）过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，

abb2x0则直线BC有定向且kBC?2（常数）.

ay0(x2,y2). 证明：设两直线与椭圆交于点(x1,y1)　　?y1?y0x1?x0k???AB?2222x1?x0y1?y0x0y0x12y12x2y2???????1??a2b2a2b2a2b2??k??y2?y0??x2?x0?ACx2?x0y2?y0?b2?2　①ab2?2　②a

由题意得①＝②

y1?y0x2?x0b2y2?y0x1?x0b2??，??∴ x1?x0y2?y0a2x2?x0y1?y0a222?(y1y2?y0y2?y0y1?y0)a2?(x1x2?x2x0?x1x0?x0)b2　③?展开? 2222(yy?yy?yy?y)a?(xx?xx?xx?x)b　④?010201210200?12

2a2y0(y1?y2)?2b2x0(x1?x2)

y1?y2b2x0??KBC（定值） ③－④得：

x1?x2a2y0x2y2（2）过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C

abb2x0两点，则直线BC有定向且kBC??2（常数）.

ay0证明：设两直线与双曲线交于点(x1,y1),(x2,y2)，则

??kAB?222222x1y1x2y2x0y2??2?2?2?2?2??2ababab?k??AC?y1?y0x1?x0b2??　①x1?x0y1?y0a2y2?y0x2?x0b2??　②x2?x0y2?y0a2

由题意得①＝－②

y1?y0(x2?x0)b2y2?y0x1?x0b2???,??? ∴

x1?x0y2?y0a2x2?x0y1?y0a22222??(y1y2?y0y2?y1y0?y0)a?b(x1x2?x0x2?x0x1?x0)?0展开?2222??(y1y2?y0y1?y0y2?y0)a?b(x1x2?x0x1?x0x2?x0)?0③ ④b2x0y1?y2??2?KBC（定值） ③－④?x1?x2ay0x2y28．（1）椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上异于长轴端点的任意一点

ab2b2??F1PF2??，则椭圆的焦点三角形的面积为|PF1||PF2|?；S?F1PF2?b2tan；

1?cos?2a2b2?22?P(?c?btan,?tan) .

c2c2证明：设|PF1|?m，|PF2|?n，则m?n?2a.

由余弦定理m2?n2?2mn?cos??4c2?4a2?4b2?(m?n)2?4b2，

2b22b?(1?cos?)mn?|PF1||PF2|?.

1?cos?2S△F1PF2112b2??m?n?sin????sin??b2tan?c?|yP|， 221?cos?2b2?a2?c?b2tan2 ∴yP??tan?xP??c2c2x2y2（2）双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上异于顶点任意一点

ab2b2??F1PF2??，则双曲线的焦点三角形的面积为|PF1||PF2|?；S?F1PF2?b2cot；

1?cos?2a2b2?22?P(?c?btan,?cot) .

c2c2证明：设|PF1|?m,|PF2|?n,|m?n|?2a，

m2?n2?2mn?cos??4c2?4a2?4b2?(m?n)2?4b2， 2b22b?mn(cos??1)?|PF1||PF2|?

1?cos?21sin??S?F1PF2?mn?sin???b2?b2cot?c?|yp|，

2?cos??12cb2??∴yp???cot?xp??1c2?b2tan2 c2c2x2y29．（1）P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1、F2为左、右焦点，A为椭圆内一定点，则

ab2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

证明：若A、F2、P不共线，

|PA|?|AF2|?|PF2| 在△APF2中|PA|?|AF2|?|PF2|　　　∴|PF2|?|AF2|?|PA|?|PF2|?|AF2|，2a?|AF2|?|PA|?|PF2|?2a?|AF2|

当A、P、F2共线时取等号.

x2y2（2）P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为左、右焦点，A为双曲线内一定点，则

ab|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立. 证明：若A、P、F2不共线，

在?APF2中|AF2|?|PA|?|PF2|?|AF2|?|PA|?|PF1|?|PF2|?|PF1|?2a ∴|AF2|?2a?|PA|?|PF1|

当且仅当P和A、F2在y同侧且共线时，|AF2|?|PA|?|PF2|， 此时|AF2|?2a?|PA|?|PF1|