1993年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2. 解由52＋122＝132知△ABC是直角三角形．

1

S△ABC＝×5×12＝30 设AD＝x，AE＝y

21

由于S△ADE＝xysinA＝30，sinA＝30，xy＝78

2

由余弦定理知：DE2＝x2＋y2－2xycosA＝(x－y)2＋2xy(1－y)2＋2xy(1－cosA) 12

＝(x－y)2＋2×78·（1－）＝(x－y)2＋12≥12

13

当x＝y时，上式等号成立，此时DE＝12＝23达到最小值．

3. (1)假如x1＞0，则由x1x2＞0知x2＞0．对于已知两个方程用韦达定理得x1＋x2＝－b＝－x1＇x2＇，这与已知x1x2＞0，x1＇x2＇＞0矛盾．因此x1＜0，x2＜0．同理，x1＇＜0，x2＇＜2．

(2)由韦达定理及x1＜0，x2＜0，有c－(b－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝(x1＋1)(x2＋1)≥0， 所以c≥b－1．

对于方程x2＋cx＋b＝0进行同样讨论，得b≥c－1． 综合以上结果有b－1≤c≤b＋1． (3)根据(2)的结果可分下列情况讨论：

①当c＝b＋1时，由韦达定理有x1 x2＝－x1－x2＋1，从而 (x1＋1)(x2＋1) ＝2. 由于x1、x2都是负整数，故

?x1?1??1?x1?1??2 ，? ?x?1??2x?1??1?2?2由此算出b＝5，c＝6．经检验b＝5，c＝6符合题意．

②当c＝b时，有x1x2＝－(x1＋x2)，从而(x1＋1)(x2＋1)＝1．因此x1＝x2＝－2．故b＝c＝4．经检验b＝c＝4符合题意．

③当c＝b－1时,b＝c＋1对方程x2＋cx＋b＝0作①类似讨论，得b＝6，c＝5 综上所得三组值：??b?5?b?6?b?4，?，? ?c?6?c?5?c?4