高三数学一轮基础巩固 第5章 第1节 平面向量的概念及其线性运算(含解析)北师大版

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第5章 第1节 平面

向量的概念及其线性运算 北师大版

一、选择题

1．下列命题中为假命题的是( ) →→

A．向量AB与BA的长度相等

B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相同 [答案] D

[解析] 由定义可知，A、B、C正确．由于共线的单位向量方向可以相同或相反，故D错误．

→→→

2．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则( ) →→A．PA＋PB＝0 →→C．PC＋PA＝0 [答案] C

→→

[解析] 解法1：由向量加法的平行四边形法则易知，BA与BC的和向量过AC边上的中点，→→

长度是AC边上的中线长的二倍，结合已知条件可知P为AC边中点，故PA＋PC＝0.

→→→

解法2：∵BC＋BA＝2BP，

→→→→→→

∴PB＋BC＋PB＋BA＝0，即PC＋PA＝0.

→→

3．(2014·新课标Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则EB＋FC＝( ) →A．AD →C．BC [答案] A [解析] 如图，

1→B．AD 21→D．BC 2→→B．PB＋PC＝0 →→→

D．PA＋PB＋PC＝0

- 1 -

1→→1→→→→

EB＋FC＝－(BA＋BC)－(CB＋CA)

221→→1→→→

＝－(BA＋CA)＝(AB＋AC)＝AD.

224．(文)下列命题中真命题是( ) ①a∥b?存在唯一的实数λ，使得a＝λb

②a∥b?存在不全为0的实数λ1和λ2使λ1a＋λ2b＝0 ③a与b不共线?若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0 ④a与b不共线?不存在实数λ1、λ2，使得λ1a＋λ2b＝0 A．①③ C．①④ [答案] B

(理)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－B．如果c∥d，那么( ) A．k＝1且c与d同向 C．k＝－1且c与d同向 [答案] D

[解析] 考查向量相等及向量平行的条件． ∵c∥d，∴c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)， ∴?

?k＝λ?

B．②③ D．②④

B．k＝1且c与d反向 D．k＝－1且c与d反向

??1＝－λ

，∴k＝－1，λ＝－1.故选D．

→→→→→→→

5．非零向量OA，OB不共线，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是( )

A．x＋y－2＝0 C．x＋2y－2＝0 [答案] A

→→→→→→

[解析] PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)， →→→即OP＝(1＋λ)OA－λOB. →→→又2OP＝xOA＋yOB，

??x＝2＋2λ，∴?

?y＝－2λ，?

B．2x＋y－1＝0 D．2x＋y－2＝0

消去λ得x＋y＝2.

→→→

6．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为( )

A．平行四边形

B．矩形

- 2 -

C．梯形 [答案] C

D．菱形

→→→→→

[解析] AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC， →→→→

∴AD∥BC，且|AD|＝2|BC|，∴四边形ABCD为梯形．故选C． 二、填空题 7．化简：

→→→

(1)AB－AD－DC＝________ →→→→

(2)(AB－CD)－(AC－BD)＝________ →

[答案] (1)CB (2)0

[解析] 运用三角形法则求和向量时，应“始终相接，始指向终”；求差向量时，应“同始连终，指向被减”．

→→→→→→(1)AB－AD－DC＝DB－DC＝CB.

→→→→→→→→→→→→→→

(2)解法1：(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0. →→→→→→→→→→→→→→

解法2：(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0. 8．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 1

[答案] － 3

[解析] 由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，

??λ＝－k∴?

?3k＝1?

1

λ＝－??3

，解得?1

k＝??3

.

→→→→→

9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．

[答案] 直角三角形

→→→→→→→→→→→→→→→→

[解析] OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝→→|AB－AC|，

故A、B、C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形． 三、解答题

10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？

- 3 -

[分析] 运用向量共线的条件，确定是否存在实数k，使是d＝kC． [解析] d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2) ＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2. 要使c∥d，则应存在实数k，使d＝kc，

即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝k(2e1－9e2)＝2ke1－9ke2，

??2λ＋2μ＝2k，

∵e1，e2不共线，∴?

??－3λ＋3μ＝－9k，

∴λ＝－2μ.

故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d与c共线.

一、选择题

1．(2014·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在→→→→

平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于( )

→A．OM →C．3OM [答案] D

[解析] 本题考查了平面向量平行四边形法则， →→→→→→→OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD) →→→＝2OM＋2OM＝4OM.

→→→

2．(文)已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在( )

A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上 C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上 [答案] B

→→→→→→→→

[解析] 本题考查平面向量的共线问题，由CB＝λPA＋PB得CB－PB＝λPA，∴CP＝λPA.→→→→则CP与PA为共线向量，又CP与PA有一个公共点P，∴C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B．

→→→→→→

(理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，→→→→

则AD＋BE＋CF与BC( )

A．反向平行

→B．2OM →D．4OM

B．同向平行

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