2020年中考数学压轴题-专题24 函数综合(角度和距离)(解析版)

在RtVPBH中，tan?BPQ?BHPH?4?m3． 故?BPQ的正切值为：

4?m3．

?3?设PB与x轴交于点M． 由?1?得点A坐标为??6,0?． 又P??3,4?，

?AP?5．

Q射线PB平分?APQ，

??APB??BPQ．

QPQ//x轴，??AMP??BPQ，

??AMP??APB，

?AP?AM?5，

?M??1,0?．

设直线PB为y?kx?b?k?0?，把点P??3,4?，M??1,0?代入，得：?点B为?0,?2?．

?BH?4?m?4???2??6．

Q射线PB平分?APQ，PH?PQ，

?点B到直线AP的距离为6．

y?2x?2，

【点睛】本题是二次函数的综合题，分别考查了待定系数法求解析式、构造直角三角形求三角函数值、利用点的坐标表示相关线段长度，以及角平分线的性质定理来得点到直线的距离等知识点，综合性较强，难度较大．

2.如图，已知二次函数y?ax2?bx?3的图像经过点A(m,0)和点B(4,3)，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan?OCA?3。

（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）设点A关于y轴的对称点为E，联结DE、CD，求?CDE的度数。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题

一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.点的坐标：A(m,0)，B(4,3)，C(0,3)； 2.二次函数经过A(m,0)，B(4,3)，C(0,3)三点； 3.其它已知条件：tan?OCA?3。

二.求解二次函数的解析式：先利用tan?OCA?3求解A点坐标，再将点A(m,0)、B(4,3)的坐标代入函数解析式，解方程组可得。 三.求?CDE的度数： 1.写出点C、D、E的坐标；

2.判定?CDE的形状：可得?CDE为等腰直角三角形 3.求解?CDE的度数。

【满分解答】

（1）根据题意，得点C的坐标为（0,3）。 在Rt?AOC中，

∵tan∠OAC=3，∴OA=1，即点A的坐标为（1,0）．

?0?a?b?3,?a?1,∴? 解得?

3?16a?4b?3.b??4.??∴所求的函数解析式为y?x2?4x?3． 顶点D的坐标为（2,-1）．

（2）根据题意，得点E的坐标为（-1,0），联结CE。 ∵CE?10，DE?10，CD?25，∴CE2?DE2?CD2。 ∴?CDE是等腰直角三角形。 ∴∠CDE=45°。

3.如图，已知抛物线与x轴交于点A(?2，0)，与y轴交于点C(0，8)。 0)，B(4，（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E；在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题

一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.点的坐标：A(?2，0)，C(0，8)； 0)，B(4，2.二次函数经过A(?2，0)，C(0，8)三点。 0)，B(4，二.求解二次函数解析式和顶点坐标：将A(?2，0)、C(0，8)三点代入函数解析式，解方程组；0)、B(4，再利用配方法求顶点坐标。 三.求解点P的坐标：

1.条件：点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离；

2.利用直线交点情况求解点E、F的坐标，可得E(?8,0)、F(2,10)；

3.设OB的垂直平分线交x轴于点H，直线CD交线段OB的垂直平分线于点F，过点P作PQ?CD交CD于点Q； 4.设P(2,m)，利用Rt?FPQ∽Rt?FEH求解点P的坐标；在计算求解。

【满分解答】

（1）设该抛物线的解析式为y?ax?bx?c， 由抛物线与y轴交于点C(0,8),可知c?8

即抛物线的解析式为y?ax?bx?8．

22?4a?2b?8?0把A(?2， 解得a??1,b?2. 0)，代入, 得?0)，B(4，16a?4b?8?0?∴ 抛物线的解析式为y??x?2x?8 ∴ 顶点D的坐标为(1,9)。

（2）设OB的垂直平分线交x轴于点H，直线CD交线段OB的垂直平分线于点F， 直线CD的解析式为y?kx?b(k?0)

∴ b?8,k?1,即直线CD的解析式为y?x?8

∴ 点E坐标为(?8,0) , 点F坐标为 (2,10),EH?FH?10，EF?102 假设线段OB的垂直平分线上存在点P，那么令点P坐标为 (2,m)， 过点P作PQ?CD交CD于点Q，则有OP?PQ?由题意知，Rt?FPQ∽Rt?FEH

24?m2，PF?10?m

PQFP4?m210?m∴．∴ ??EHEF10102解得 m??83?10 ∴ 点P坐标为 (2,?83?10)