江苏省南京市2019届高三第三次模拟考试数学试题(WORD解析版)

所以b≤0不符合题意．………………………………………………………10分 ②当b＞0时，

当x∈(0，当x∈(1)时，h′(x)＞0，所以函数h(x)递增； 2b

1，＋∞)时，h′(x)＜0，所以函数h(x)递减， 2b

1)＝ln2b

11＋． 2b2

则h(x)max＝h(要使方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根， 则h(

1

)＝ln2b

11e

＋＞0，解得0＜b＜．………………………………12分 2b22

e1b

（i）当0＜b＜时，h()＝－2＜0．

2ee1

又()2－(

e

2

122b－e1)＝2＜0，则＜2b2bee

1， 2b

1

所以存在唯一的x1∈(，e1)，使得h(x1)＝0．…………………………14分 2b

11111e

（ii）h()＝ln＋1－＝－lnb＋1－， 记k(b)＝－lnb＋1－，0＜b＜，

bbbbb2111－be

因为k′(b)＝－＋2＝2，则k(b)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数，

bbb2

1

则k(b)max＝k(1)＝0，则h()≤0．

b

1 又()2－(

b122－b1)＝2＞0，即＞2b2bb1， 2b

所以存在唯一的x2∈(

11

，]，使得h(x2)＝0， 2bb

e

综上，当0＜b＜时，方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根．………………16分

2

20．(本小题满分16分)

解：（1）因为{an}是M(r，2r)数列，所以Sr＝2r，且S2r＝r．

r(r－1)

由Sr＝2r，得3r＋d＝2r．因为r＞0，所以(r－1)d＝－2 (*)；

22r(2r－1)

由S2r＝r，得6r＋d＝r，因为r＞0，所以(2r－1)d＝－5 (**)；

2

由(*)和(**)，解得r＝3，d＝－1． ······················································ 2分 （2）①（i）若q＝1，则Sr＝ra1，St＝ta1．

因为{an}是M(r，2r)数列，所以ra1＝2r(*)，2ra1＝r(**)，

1

由(*)和(**)，得a1＝2且a1＝，矛盾，所以q≠1． ····················· 3分

2（ii）当q≠1，因为{an}是M(r，2r)数列，所以Sr＝2r，且S2r＝r，

a1(1－qr)a1(1－q2r)即＝2r(*)，＝r(**)，

1－q1－q

1

由(*)和(**)，得qr＝－． ······················································ 5分

211

当r＝1时，q＝－；当r＝2，4时，无解；当r＝3时，q＝－3．

22

11

综上，q＝－或q＝－3． ···························································· 6分

22

②因为{an}是M(r，t)数列，q∈(－1，0)，所以Sr＝t，且St＝r， a1(1－qr)a1(1－qt)

即＝t，且＝r，

1－q1－q

1－qrtrt

两式作商，得··································· 8分 t＝，即r(1－q)＝t(1－q)． ·1－qr

（i）若r为偶数，t为奇数，则r(1－|q|r)＝t(1＋|q|t)．

因为r＜t，0＜1－|q|r＜1，1＋|q|t＞1，所以r(1－|q|r)＜t(1＋|q|t)，

这与r(1－|q|r)＝t(1＋|q|t)矛盾，所以假设不成立． ························ 10分 （ii）若r为偶数，t为偶数，则r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)．

设函数y＝x(1－ax)，0＜a＜1,则y'＝1－ax－xaxlna，

当x＞0时，1－ax＞0，－xaxlna＞0，所以y＝x(1－ax)在(0，＋∞)为增． 因为r＜t，所以r(1－|q|r)＜t(1－|q|t)，

这与r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)矛盾，所以假设不成立． ·························· 12分 (iii) 若r为奇数，t为奇数，则r(1＋|q|r)＝t(1＋|q|t)．

设函数y＝x(1＋ax)，0＜a＜1,则y'＝1＋ax＋xaxlna．

设g(x)＝1＋ax＋xaxlna，则g'(x)＝axlna(2＋xlna)， 令g'(x)＝0，得x＝－

2

．因为ax＞0，lna＜0， lna

22

所以当x＞－，g'(x)＞0，则g(x)在区间(－，＋∞)递增；

lnalna

22

当0＜x＜－，g'(x)＜0，则g(x)在区间(0，－)递减，

lnalna所以g(x)min＝g(－因为－

22－

)＝1－alna． lna

22－

＞0，所以alna＜1， 所以g(x)min＞0， lna

从而g(x)＞0在(0，＋∞)恒成立，

所以y＝x(1＋ax)，0＜a＜1在(0，＋∞)上单调递增． 因为r＜t，所以r(1＋|q|r)＜t(1＋|q|t)，

这与r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)矛盾，所以假设不成立． ·························· 14分

(iv) 若r为奇数，t为偶数．

由①知，存在等比数列{an}为“M(1，2)数列”．

综上，r为奇数，t为偶数． ································································ 16分

南京市2019届高三年级第三次模拟考试

数学附加题参考答案及评分标准 2019.05

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．

域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．

A．选修4—2：矩阵与变换

2 1?? 2 1??54?解：（1） M2＝?··················································· 4分

? 1 2? ? 1 2? ＝?45? ． ·

?λ－2 －1?

（2）矩阵M的特征多项式为f(λ)＝??＝(λ－1)(λ－3)．

?－1 λ－2?

令f(λ)＝0，解得M的特征值为λ1＝1，λ2＝3． ······································· 6分 ①当λ＝1时，?

?x＋y＝0， 2 1??x??x?

＝，得?

? 1 2??y??y??x＋y＝0．

1??令x＝1，则y＝－1，于是矩阵M的一个特征向量为． ················· 8分

?－1?②当λ＝3时，?

?x－y＝0， 2 1??x?x

＝3??，得?

? 1 2??y??y??x－y＝0．

1

令x＝1，则y＝1，于是矩阵M的一个特征向量为??．

?1?因此，矩阵M的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为

B．选修4—4：坐标系与参数方程

解：直线l的直角坐标方程为：x－3y－2＝0． ················································ 2分

?1?，?1?． ·

··· 10分

?－1??1?

曲线C的普通方程为：(x－2)2＋(y＋1)2＝r2．………………………………………4分 |2＋3－2|3

圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝， ……………………………6分

21＋3