江苏省南京市2019届高三第三次模拟考试数学试题(WORD解析版)

h＝

221??，

4?2a?b4?22ab41

当2a＝b时，h有最大值为

4

12．已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是夹角为60°的两个单位向量．若向量

c满足c·(a＋2b)＝－5，则|c|的最小值为 ▲ ． 57答案： 7

考点：平面向量的数量积。 解析：因为|a?2b|?(a?2b)?2a?4b?4ab＝1?4?4?1?1?cos60??7，

22设c与a＋2b的夹角为θ，由c·(a＋2b)＝－5，得：

|c|?|a?2b|cos??－5，即：|c|??5，

7cos?57

?1?cos??0，所以，当cos???1时，|c|的最小值为7

13．平面直角坐标系xOy中，已知MN是⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是

π

MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x－3y－5＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥2恒成立，则线段AB长度的最小值是 ▲ ． 答案：210＋2

考点：直线与圆的方程。

解析：依题意，得：MN＝CM2?CN2＝2，P为MN中点，CM⊥CN， 所以，CP＝

1MN＝1，即点P的轨迹为：(x－1)2＋(y－2)2＝1， 2圆心C（1,2）到直线l：x－3y－5＝0的距离为：CD＝d＝当P在CD上时，AB的值最小， ABmin＝2PD＝2（10＋1）＝210＋2

|1?6?5|?10， 10

11

14．已知函数f(x)＝x2－alnx＋x－，对任意x∈[1，＋∞)，当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为

22

1，则实数a的取值范围是 ▲ ． 答案：(－∞，1]

考点：不等式恒成立问题，函数的导数及其应用。

解析：

二?解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答

案写在答题卡的指定区域内． 15．(本小题满分14分)

已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acos B＋bcos A＝（1）求证：A＝C；

→→（2）若b＝2，BA·BC＝1，求sin B的值．

16．(本小题满分14分)

在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60o． 求证：（1）平面PAC⊥平面PAB；

（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：BC∥l．

c cos A

． cos C

17． (本小题满分14分)

如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15m的圆柱体与一个半径为15m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45m．半球体球心Q到地面的距离PQ为15m．把摩天轮看作一个半径为72m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75m．该摩天轮匀速旋转一周需要30min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)

18．(本小题满分16分)

x2y222在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)过点(1，)，离心率为．

ab22

A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点． （1）求椭圆C的方程；

→→（2）若点P在直线x－y＋2＝0上，且BP＝3BM，求△PMA的面积；

（3）过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且D点在线段OA