2013届高三理科数学一轮总复习第十四章 推理与证明（教师用书）

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(3)由(1)得a＝1，所以f(x)－f′(x)＝＋2，因此an＋1＝＋2，a1＝1，所以a2＝2，可得0＜a2n＋1＜1，

xxanan

a2n＋2＞2.用数学归纳法证明如下：

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①当n＝1时，a3＝，a4＝，结论成立；

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②设n＝k，k∈N*时结论成立，即0＜a2k＋1＜1，a2k＋2＞2，

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则n＝k＋1时，a2k＋3＝＋2＜＋＝1，

a2k＋2a2k＋222

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所以0＜a2k＋3＜1，a2k＋4＝＋2＞1＋1＝2.

a2k＋3a2k＋3所以n＝k＋1时结论也成立，

根据①②可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2恒成立，

所以|an＋1－an|≥a2－a1＝2－1＝1，即|an＋1－an|的最小值为1.

总结提高

数学归纳法是证明与自然数有关的命题的常用方法，它是在归纳的基础上进行的演绎推理，其大前提是皮亚诺公理(即归纳公理)：

设M是正整数集合的子集，且具有如下性质： ①1∈M；

②若k∈M，则k＋1∈M，那么必有M＝N*成立.

数学归纳法证明的两个步骤体现了递推的数学思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，通过对两个命题的证明替代了无限多次的验证，实现了有限与无限的辩证统一.

从近几年的高考试题来看，比较注重于对数学归纳法的思想本质的考查，如“归纳、猜想、证明”是一种常见的命题形式.而涉及的知识内容也是很广泛的，可覆盖代数命题、三角恒等式、不等式、数列、几何命题、整除性命题等.其难点往往在第二步，关键是“凑形”以便运用归纳假设的条件.